Question

【題目】如圖，是等腰直角外一點，把繞直角頂點順時針旋轉到，已知，，則的值為________．

Answer 1

【答案】1：2

【解析】

如圖，連接AP，構建全等三角形：△ABP≌△CBP′（SAS），由該全等三角形的對應邊相等得到AP=P′C；如圖，連接PP′，結合已知條件可以推知△APP′是直角三角形，所以由勾股定理來求相關線段的長度即可．

如圖，連接AP，

∵BP繞點B順時針旋轉到BP′，

∴BP=BP′,∠ABP+∠ABP′=，

又∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AB=BC,∠CBP′+∠ABP′=，

∴∠ABP=∠CBP′，

在△ABP和△CBP′中，

∵

∴△ABP≌△CBP′(SAS)，

∴AP=P′C，

∵P′A:P′C=1:3，

∴AP=3P′A，

連接PP′,則△PBP′是等腰直角三角形，

∴

∵

∴

∴△APP′是直角三角形，

設P′A=x，則AP=3x，

根據(jù)勾股定理,

∴

解得PB=2x，

∴P′A:PB=x:2x=1:2.

故答案為：1:2.