Question

已知：如圖，拋物線y=-

3

3

x2-

2 3

3

x+

3

的圖象與x軸分別交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，⊙M經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O及點(diǎn)A、C，點(diǎn)D是劣弧

OA

上一動(dòng)點(diǎn)（D點(diǎn)與A、O不重合）．
（1）求拋物線的頂點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（2）求⊙M的面積；
（3）連CD交AO于點(diǎn)F，延長(zhǎng)CD至G，使FG=2，試探究，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，直線GA與⊙M相切，并請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）已知了拋物線的解析式，用配方法和公式法求都可以．
（2）由于∠AOC是直角，那么連接AC，則AC必過(guò)圓心M，也就是說(shuō)AC就是圓M的直徑，因此求出AC就可以得出圓M的半徑長(zhǎng)，根據(jù)拋物線的解析式可求出A，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，也就知道了OA，OC的長(zhǎng)，可在直角三角形AOC中，用勾股定理求出AC，然后可根據(jù)圓的面積的計(jì)算公式求出圓M的面積．
（3）應(yīng)是D到OA中點(diǎn)時(shí)，GA與圓M相切，要證垂直就必須證AC⊥AG，此時(shí)D是弧OA的中點(diǎn)，根據(jù)OC，OA的長(zhǎng)，不難得出∠ACO=60°，那么∠FCO=∠ACD=30°，有OC=

3

，那么可求得OF=1，AF=OA-OF=2，首先三角形AFG是個(gè)等腰三角形，而∠CFO=90-30=60°，因此∠AFG=60°，三角形AFG就是個(gè)等邊三角形，∠FAG=60°，因此∠CAG=60+30=90°，即可得出GA與圓M相切．

解答：解：（1）拋物線y=-

3

3

x²-

2 3

3

x+

3

=-

3

3

（x²+2x+1）+

3

+

3

3

=-

3

3

（x+1）²+

4 3

3

∴E的坐標(biāo)為（-1，

4 3

3

）；

（2）連AC；
∵⊙M過(guò)A，O，C，∠AOC=90°，
∴AC為⊙O的直徑．
而|OA|=3，OC=

3

∴r=

AC

2

=

3

．
∴S⊙M=πr²=3π；

（3）當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到

OA

的中點(diǎn)時(shí)，直線GA與⊙M相切．
理由：在Rt△ACO中，|OA|=3，OC=

3

，
∵tan∠ACO=

3

3

=

3

．
∴∠ACO=60°，∠CAO=30°．
∵點(diǎn)D是

OA

的中點(diǎn)，
∴

AD

=

DO

．
∴∠ACG=∠DCO=30°．
∴OF=OC•tan30°=1，∠CFO=60°．
在△GAF中，AF=2，F(xiàn)G=2，∠AFG=∠CFO=60°，
∴△AGF為等邊三角形．
∴∠GAF=60°．
∴∠CAG=∠GAF+∠CAO=90°．
又AC為直徑，
∴當(dāng)D為

OA

的中點(diǎn)時(shí)，GA為⊙M的切線．

點(diǎn)評(píng)：本題將拋物線與圓放在同一坐標(biāo)系中研究，因此數(shù)形結(jié)合的解題思想是不可缺少的，解第3小問(wèn)時(shí)可以先自己作圖來(lái)確定D點(diǎn)的位置．