Question

【題目】如圖，正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，延長CB至點F，使CF=CA，連接AF，∠ACF的平分線分別交AF，AB，BD于點E，N，M，連接EO．

（1）已知BD=，求正方形ABCD的邊長；

（2）猜想線段EM與CN的數量關系并加以證明．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）CN=CM．

【解析】

試題分析：（1）根據正方形的性質以及勾股定理即可求得；

（2）根據等腰三角形三線合一的性質證得CE⊥AF，進一步得出∠BAF=∠BCN，然后通過證得△ABF≌△CBN得出AF=CN，進而證得△ABF∽△COM，根據相似三角形的性質和正方形的性質即可證得CN=CM．

試題解析：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴△ABD是等腰直角三角形，∴2AB2=BD2，∵BD=，∴AB=1，∴正方形ABCD的邊長為1；

（2）CN=CM．

證明：∵CF=CA，AF是∠ACF的平分線，∴CE⊥AF，∴∠AEN=∠CBN=90°，∵∠ANE=∠CNB，∴∠BAF=∠BCN，在△ABF和△CBN中，∵∠BAF=∠BCN，∠ABF=∠CBN，AB=BC，∴△ABF≌△CBN（AAS），∴AF=CN，∵∠BAF=∠BCN，∠ACN=∠BCN，∴∠BAF=∠OCM，∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∴∠ABF=∠COM=90°，∴△ABF∽△COM，∴，∴，即CN=CM．