Question

如圖，已知拋物線C₁的頂點(diǎn)坐標(biāo)是D（1，4），且經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（2，3），又與x軸交于點(diǎn)A、E（點(diǎn)A在點(diǎn)E左邊），與y軸交于點(diǎn)B．
（1）拋物線C₁的表達(dá)式是______；
（2）四邊形ABDE的面積等于______；
（3）問(wèn)：△AOB與△DBE相似嗎？并說(shuō)明你的理由；
（4）設(shè)拋物線C₁的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)F．另一條拋物線C₂經(jīng)過(guò)點(diǎn)E（C₂與C₁不重合），且頂點(diǎn)為M（a，b），對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)G，并且以M、G、E為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)D、E、F為頂點(diǎn)的三角形全等，求a、b的值．（只需寫出結(jié)果，不必寫解答過(guò)程）．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)圖象可得出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式．
（2）由于四邊形ABDE不是規(guī)則的四邊形，因此可過(guò)D作DF⊥x軸于F，將四邊形ABDE分成△AOB，梯形BOFD和△DOE三部分來(lái)求．
（3）可先根據(jù)坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離公式，分別求出AB、BE、DE、BD的長(zhǎng)，然后看兩三角形的線段是否對(duì)應(yīng)成比例即可．
（4）要使兩三角形全等，那么兩直角三角形的兩直角邊應(yīng)對(duì)應(yīng)相等．
①當(dāng)EF=EG=2，DF=MG=3，此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)可能為（5，4），（5，-4），（1，-4）．
②當(dāng)EF=MG=2，DF=EG=3，此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)可能是（7，2），（7，-2），（-1，2），（-1，-2），綜上所述可得出a、b的值．
解答：解：（1）設(shè)c₁的解析式為y=ax²+bx+c，由圖象可知：c₁過(guò)A（-1，0），B（0，3），C（2，3）三點(diǎn)．

解得：
∴拋物線c₁的解析式為y=-x²+2x+3．

（2）∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4．
∴拋物線c1的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4）；
過(guò)D作DF⊥x軸于F，由圖象可知：OA=1，OB=3，OF=1，DF=4；
令y=0，則-x²+2x+3=0，
解得x₁=-1，x₂=3
∴OE=3，則FE=2．
S_△ABO=OA•OB=×1×3=；
S_△DFE=DF•FE=×4×2=4；
S_梯形BOFD=（BO+DF）•OF=．
∴S_{四邊形ABDE}=S_△AOB+S_梯形BOFD+S_△DFE=9（平方單位）．

（3）如圖，過(guò)B作BK⊥DF于K，則BK=OF=1．
DK=DF-OB=4-3=1．
∴BD==，
又DE==2 ；
AB=，BE=3 ；
在△ABO和△BDE中，
AO=1，BO=3，AB=；
BD=，BE=3 ，DE=2 ．
∵===
∴△AOB∽△DBE．

（4）①當(dāng)EF=EG=2，DF=MG=4，此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)可能為（5，4），（5，-4），（1，-4）．
②當(dāng)EF=MG=2，DF=EG=3，此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)可能是（7，2），（7，-2），（-1，2），（-1，-2），
綜上所述可得出a、b的值．
，，，，，，．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、三角形相似、圖形面積的求法等知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，考查學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．