Question

如圖，已知拋物線c1：y=-

1

4

x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，拋物線c₂與拋物線c₁關(guān)于y軸對稱，點(diǎn)A、B的對稱點(diǎn)分別是E、D，連接CD、CB，設(shè)AD=m．
（1）拋物線c₂可以看成拋物線c₁向右平移

m

個單位得到．
（2）若m=2，求b的值．
（3）將△CDB沿直線BC折疊，點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)為G，且四邊形CDBG是平行四邊形，
①△CDB為

等邊

三角形（按邊分）；
②若點(diǎn)G恰好落在拋物線c₂上，求m的值．

Answer 1

分析：（1）對于拋物線c₁上的A點(diǎn)來說，當(dāng)c₁平移到c₂時，點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)D，因此c₂可看作c₁向右平移AD長（即m）個單位得到．
（2）c₂、c₁關(guān)于y軸對稱，所以它們的開口方向、開口大小相同，與y軸交點(diǎn)相同，唯一不同的是對稱軸關(guān)于y軸對稱，所以兩個解析式的二次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)系數(shù)相同，不同的是一次項(xiàng)系數(shù)互為相反數(shù)，可據(jù)此設(shè)出c₂的函數(shù)解析式，則它們的對稱軸的差的絕對值即為m的值，由此求出b．
（3）①由題意不難判斷B、D關(guān)于y軸對稱，那么△CBD首先是個等腰三角形，即∠CDB=∠CBD，而四邊形CDBG是平行四邊形，即∠GCB=∠CBD；△GCB由△DCB翻折所得，所以∠GCB=∠DCB=∠CBD，即△CDB的三個內(nèi)角相等，因此這個三角形應(yīng)該是等邊三角形；
②這道小題要用到（2）、（3）①的結(jié)論，首先由（2）的結(jié)論用m、c表示出c₂的解析式，在等邊△CDB中，OC=c，那么OD、OB的長也可由c表示出來，所以可以得到B、D的坐標(biāo)（用c來表示），而CG∥x軸，且CG=BD，所以用c也可表達(dá)出G點(diǎn)的坐標(biāo)，將G、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入c₂的解析式中，即可求出m的值．

解答：解：（1）拋物線c₁圖象上的A點(diǎn)向右平移m個單位后，得到拋物線c₂圖象上的D點(diǎn)，故拋物線c₂可由拋物線c₁向右平移m個單位得到；
故填：m．

（2）拋物線c₁、c₂關(guān)于y軸對稱，
已知，拋物線c₁：y=-

1

4

x²+bx+c，對稱軸：x=2b；
則，拋物線c₂：y=-

1

4

x²-bx+c，對稱軸：x=-2b；
由（1）知：拋物線c₂可由拋物線c₁向右平移m個單位得到，則：
-2b-2b=m，即：b=-

m

4

=-

1

2

．

（3）①如右圖，若四邊形CDBG是平行四邊形，則∠GCB=∠CBD；
已知，△GCB由△DCB翻折所得，故∠GCB=∠DCB；
∴∠DCB=∠CBD；
由題意，知：B、D關(guān)于y軸對稱，所以CB=CD，即：∠CDB=∠CBD；
∴∠DCB=∠DCB=∠CBD，即△CDB是等邊三角形；
②在等邊△CBD中，OB=OD，∠CDO=60°，OC=c，則：OD=OB=

3

3

c，即：D（-

3

3

c，0）；
∵CG∥x軸，且CG=BD=

2 3

3

c，
∴G（

2 3

3

c，c）；
由（2）的結(jié)論，可設(shè)拋物線c₂：y=-

1

4

x²+

m

4

x+c，代入D、G兩點(diǎn)的坐標(biāo)，得：

- 1 4 × 1 3 c2- m 4 × 3 3 c+c=0 - 1 4 × 4 3 c2+ m 4 × 2 3 3 c+c=c

解得：m=

8 3

3

．

點(diǎn)評：此題主要考查的是二次函數(shù)圖象的平移、圖形的對稱和翻折以及平行四邊形的性質(zhì)；拋物線在對稱或平移過程中，解析式中各系數(shù)的變化情況是需要牢固掌握的地方；難度較大．