Question

如圖，已知拋物線C₁：y=a（x+2）²-5的頂點(diǎn)為P，與x軸相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是1．
（1）求P點(diǎn)坐標(biāo)及a的值；
（2）如圖（1），拋物線C₂與拋物線C₁關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，將拋物線C₂向右平移，平移后的拋物線記為C₃，C₃的頂點(diǎn)為M，當(dāng)點(diǎn)P、M關(guān)于點(diǎn)B成中心對(duì)稱(chēng)時(shí)，求C₃的解析式；
（3）如圖（2），點(diǎn)Q是x軸正半軸上一點(diǎn)，將拋物線C₁繞點(diǎn)Q旋轉(zhuǎn)180°后得到拋物線C₄．拋物線C₄的頂點(diǎn)為N，與x軸相交于E、F兩點(diǎn)（點(diǎn)E在點(diǎn)F的左邊），當(dāng)以點(diǎn)P、N、F為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）由拋物線C₁：y=a（x+2）²-5得頂點(diǎn)P的為（-2，-5），把點(diǎn)B（1，0）代入拋物線解析式，解得，a=

5

9

；
（2）連接PM，作PH⊥x軸于H，作MG⊥x軸于G，根據(jù)點(diǎn)P、M關(guān)于點(diǎn)B成中心對(duì)稱(chēng)，證明△PBH≌△MBG，所以MG=PH=5，BG=BH=3，即頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（4，5），根據(jù)拋物線C₂由C₁關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)得到，拋物線C₃由C₂平移得到，所以拋物線C₃的表達(dá)式為y=-

5

9

（x-4）²+5；
（3）根據(jù)拋物線C₄由C₁繞點(diǎn)x軸上的點(diǎn)Q旋轉(zhuǎn)180°得點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為5，設(shè)點(diǎn)N坐標(biāo)為（m，5），作PH⊥x軸于H，作NG⊥x軸于G，作PK⊥NG于K，可求得EF=AB=2BH=6，F(xiàn)G=3，點(diǎn)F坐標(biāo)為（m+3，0），H坐標(biāo)為（2，0），K坐標(biāo)為（m，-5），根據(jù)勾股定理得：PN²=NK²+PK²=m²+4m+104，PF²=PH²+HF²=m²+10m+50，NF²=5²+3²=34．
分三種情況討論，利用勾股定理列方程求解即可．①當(dāng)2∠PNF=90°時(shí)，PN²+NF²=PF²，解得m=

44

3

，即Q點(diǎn)坐標(biāo)為（

19

3

，0）；②當(dāng)∠PFN=90°時(shí)，PF²+NF²=PN²，解得m=

10

3

，∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為（

2

3

，0），③PN＞NK=10＞NF，所以∠NPF≠90°綜上所得，當(dāng)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（

19

3

，0）或（

2

3

，0）時(shí)，以點(diǎn)P、N、F為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形．

解答：解：（1）由拋物線C₁：y=a（x+2）²-5得，
頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2，-5），
∵點(diǎn)B（1，0）在拋物線C₁上，
∴0=a（1+2）²-5，
解得a=

5

9

；

（2）連接PM，作PH⊥x軸于H，作MG⊥x軸于G，
∵點(diǎn)P、M關(guān)于點(diǎn)B成中心對(duì)稱(chēng)，
∴PM過(guò)點(diǎn)B，且PB=MB，
∴△PBH≌△MBG，
∴MG=PH=5，BG=BH=3，
∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（4，5），
拋物線C₂由C₁關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)得到，拋物線C₃由C₂平移得到，
∴拋物線C₃的表達(dá)式為y=-

5

9

（x-4）²+5；

（3）∵拋物線C₄由C₁繞點(diǎn)x軸上的點(diǎn)Q旋轉(zhuǎn)180°得到，
∴頂點(diǎn)N、P關(guān)于點(diǎn)Q成中心對(duì)稱(chēng)，
由（2）得點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為5，
設(shè)點(diǎn)N坐標(biāo)為（m，5），
作PH⊥x軸于H，作NG⊥x軸于G，
作PK⊥NG于K，
∵旋轉(zhuǎn)中心Q在x軸上，
∴EF=AB=2BH=6，
∴FG=3，點(diǎn)F坐標(biāo)為（m+3，0）．
H坐標(biāo)為（-2，0），K坐標(biāo)為（m，-5），
∵頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2，-5），
根據(jù)勾股定理得：
PN²=NK²+PK²=m²+4m+104，
PF²=PH²+HF²=m²+10m+50，
NF²=5²+3²=34，
①當(dāng)∠PNF=90°時(shí)，PN²+NF²=PF²，解得m=

44

3

，
∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為（

19

3

，0）．
②當(dāng)∠PFN=90°時(shí)，PF²+NF²=PN²，解得m=

10

3

，
∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為（

2

3

，0）．
③∵PN＞NK=10＞NF，
∴∠NPF≠90°
綜上所得，當(dāng)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（

19

3

，0）或（

2

3

，0）時(shí)，以點(diǎn)P、N、F為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題結(jié)合三角形的性質(zhì)考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)和幾何圖形的綜合題目，要利用直角三角形的性質(zhì)和二次函數(shù)的性質(zhì)把數(shù)與形有機(jī)的結(jié)合在一起，利用勾股定理作為相等關(guān)系求解．