【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸的一個(gè)交點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣1,0),對(duì)稱軸為直線x=﹣2.

(1)求拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo);

(2)點(diǎn)D是拋物線與y軸的交點(diǎn),點(diǎn)C是拋物線上的另一點(diǎn).已知以AB為一底邊的梯形ABCD的面積為9.求此拋物線的解析式,并指出頂點(diǎn)E的坐標(biāo);

(3)點(diǎn)P是(2)中拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn),且以1個(gè)單位/秒的速度從此拋物線的頂點(diǎn)E向上運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.

當(dāng)t為   秒時(shí),PAD的周長(zhǎng)最?當(dāng)t為   秒時(shí),PAD是以AD為腰的等腰三角形?(結(jié)果保留根號(hào))

點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中,是否存在一點(diǎn)P,使PAD是以AD為斜邊的直角三角形?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】解:(1)由拋物線的軸對(duì)稱性及A(﹣1,0),可得B(﹣3,0)。

(2)設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交CD于點(diǎn)M,交AB于點(diǎn)N,

由題意可知ABCD,由拋物線的軸對(duì)稱性可得CD=2DM。

MNy軸,ABCD,四邊形ODMN是矩形。

DM=ON=2。CD=2×2=4。

A(﹣1,0),B(﹣3,0),AB=2。

梯形ABCD的面積=(AB+CD)OD=9,

OD=3,即c=3。

把A(﹣1,0),B(﹣3,0)代入y=ax2+bx+3得

,解得

y=x2+4x+3.

將y=x2+4x+3化為頂點(diǎn)式為y=(x+2)2﹣1,得E(﹣2,﹣1)。。

(3)2; 4或。

存在。

∵∠APD=90°,PMD=PNA=90°,∴∠PDM+APN=90°,DPM+PDM=90°。

∴∠PDM=APN。

∵∠PMD=ANP,∴△APN∽△PDM。

,即。

PN2﹣3PN+2=0,解得PN=1或PN=2。

P(﹣2,1)或(﹣2,2)。

【解析】

試題(1)根據(jù)拋物線的軸對(duì)稱性可得拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)。

(2)先根據(jù)梯形ABCD的面積為9,可求c的值,再運(yùn)用待定系數(shù)法可求拋物線的解析式,轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式可求頂點(diǎn)E的坐標(biāo)

(3)根據(jù)軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪問題的求法可得PAD的周長(zhǎng)最小時(shí)t的值;根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可分三種情況求得PAD是以AD為腰的等腰三角形時(shí)t的值

先證明APN∽△PDM,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得PN的值,從而得到點(diǎn)P的坐標(biāo)。

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)求證AD=2AP;

(2)如圖,若BACD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M,AP=1,求AM的長(zhǎng);

(3)如圖,若ABDC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N,當(dāng)CDPBCN相似時(shí),求證點(diǎn)PAC的中點(diǎn).

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1)求證;

2)若,連接,,判斷四邊形的形狀,并說明理由.

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1)直接寫出當(dāng)時(shí),的函數(shù)關(guān)系式.

2)廣場(chǎng)上甲、乙兩種花卉的種植面積共,若甲種花卉的種植面積不少于,且不超過乙種花卉種植面積的2倍,那么應(yīng)該怎樣分配甲、乙兩種花卉的種植面積才能使種植總費(fèi)用最少?最少總費(fèi)用為多少元?

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1)該商家購(gòu)進(jìn)的第一批紀(jì)念衫單價(jià)是多少元?

2)若兩批紀(jì)念衫按相同的標(biāo)價(jià)銷售,最后剩下20件按標(biāo)價(jià)八折優(yōu)惠賣出,如果兩批紀(jì)念衫全部售完利潤(rùn)不低于640元(不考慮其它因素),那么每件紀(jì)念衫的標(biāo)價(jià)至少是多少元?

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求證:(1EB DF ;

2EBDF

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注入水的時(shí)間t(分鐘)

0

10

25

水池的容積V(公升)

100

300

600

(1)求這段時(shí)間時(shí)V關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式(不需要寫出函數(shù)的定義域);

(2)t25分鐘開始,每分鐘注入的水量發(fā)生變化了,到t27分鐘時(shí),水池的容積為726公升,如果這兩分鐘中的每分鐘注入的水量增長(zhǎng)的百分率相同,求這個(gè)百分率.

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1)點(diǎn)C的坐標(biāo)為    ,點(diǎn)D的坐標(biāo)為     

2)點(diǎn)P為線段OA上的一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)PC+PD最小時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo).

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