Question

【題目】1.概念學(xué)習(xí).已知，點(diǎn)為其內(nèi)部一點(diǎn)，連接、、，在、、中，如果存在一個(gè)三角形，其內(nèi)角與的三個(gè)內(nèi)角分別相等，那么就稱點(diǎn)為的等角點(diǎn).

2.理解應(yīng)用

(1)判斷以下兩個(gè)命題是否為真今題，若為真令題，則在相應(yīng)橫線內(nèi)寫(xiě)“真命題”；反之，則寫(xiě)“假命題”.

①內(nèi)角分別為、、的三角形存在等角點(diǎn)； ；

②任意的三角形都存在等角點(diǎn); ；

（2）如圖①，點(diǎn)是銳角的等角點(diǎn)，若，探究圖①中，、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

3.解決問(wèn)題

如圖②，在中，，若的三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)是該三角形的等角點(diǎn)，求三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù).

Answer 1

【答案】（1）真，假；（2）∠BPC＝∠ABC＋∠ACP，證明見(jiàn)解析（3），，．

【解析】

（1）根據(jù)等角點(diǎn)的定義，可知內(nèi)角分別為30、60、90的三角形存在等角點(diǎn)，而等邊三角形不存在等角點(diǎn)，據(jù)此判斷即可；

（2）根據(jù)△ABC中，∠BPC＝∠ABP＋∠BAC＋∠ACP以及∠BAC＝∠PBC進(jìn)行推導(dǎo)，即可得出∠BPC、∠ABC、∠ACP之間的數(shù)量關(guān)系；

（3）根據(jù)△ABC的三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)P是該三角形的等角點(diǎn)，以及三角形內(nèi)角和為180°，得出關(guān)于∠A的方程，求得∠A的度數(shù)即得出可三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)．

解：（1）①內(nèi)角分別為30、60、90的三角形存在等角點(diǎn)是真命題；

②任意的三角形都存在等角點(diǎn)是假命題，如等邊三角形不存在等角點(diǎn)；

故答案為：真，假；

（2）∠BPC＝∠ABC＋∠ACP，理由如下：

如圖①，

∵在△ABC中，∠BPC＝∠ABP＋∠BAC＋∠ACP，∠BAC＝∠PBC，

∴∠BPC＝∠ABP＋∠PBC＋∠ACP＝∠ABC＋∠ACP；

（3）∵P為△ABC的角平分線的交點(diǎn)，

∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，

∵P為△ABC的等角點(diǎn)，

∴∠PBC＝∠BAC，∠BCP＝∠ABC＝2∠PBC＝2∠BAC，∠ACB＝∠BPC＝4∠A，

又∵∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，

∴∠A＋2∠A＋4∠A＝180°，

∴∠A＝，

∴該三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為．