Question

【題目】已知拋物線y＝mx2+2mx+n與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（﹣3，0），與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)C．

（1）直接寫出拋物線的對稱軸，及拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)C關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)D，當(dāng)點(diǎn)D在以AB為直徑的半圓上時(shí)，求拋物線的解析式；

（3）在（2）的情況下，在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使BP，BD，AB三條之中，其中一條是另兩條所夾角的角平分線？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）x＝﹣1，點(diǎn)B（1，0）；（2）y＝x2+x﹣；（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（0，﹣）或（﹣4，）．

【解析】

（1）函數(shù)的對稱軸為：x=-=-1，點(diǎn)A（-3，0），則點(diǎn)B（1，0）；

（2）由BE=ED，得4=1+n2，解得：n=-（正值已舍去），故點(diǎn)C（0，-），即可求解；

（3）分AB是角平分線、BP是角平分線、BD是角平分線三種情況，分別求解即可．

（1）函數(shù)的對稱軸為：x＝﹣＝﹣1，

點(diǎn)A（﹣3，0），則點(diǎn)B（1，0）；

（2）點(diǎn)C（0，n），則點(diǎn)D（0，﹣n），

設(shè)圓的圓心為E（﹣1，0），

則BE＝ED，即4＝1+n2，解得：n＝﹣（正值已舍去），

故點(diǎn)C（0，﹣），

故拋物線的表達(dá)式為：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3），

即﹣3a＝﹣，解得：a＝，

故拋物線的表達(dá)式為：y＝x2+x﹣…①；

（3）①當(dāng)AB是角平分線時(shí)，

由于點(diǎn)D、C關(guān)于x軸對稱，故點(diǎn)C即為點(diǎn)P（0，﹣）；

②當(dāng)BP是角平分線時(shí)，

由于OD＝，OB＝1，故∠DBA＝60°，則BP的傾斜角為30°，

故直線BP的表達(dá)式為：y＝﹣x+b，經(jīng)點(diǎn)B的坐標(biāo)代入上式并解得：b＝，

故直線BP的表達(dá)式為：y＝﹣x+…②，

聯(lián)立①②并解得：x＝﹣4或1（舍去1），故點(diǎn)P（﹣4，）；

③當(dāng)BD是角平分線時(shí)，

同理點(diǎn)P（m，m﹣），

將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入①式并解得：x＝0或1（舍去）；

綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（0，﹣）或（﹣4，）．