【題目】如圖(1),四邊形ABCD是平行四邊形,BD是它的一條對角線,過頂點A、C分別作AM⊥BD,CN⊥BD,M,N為垂足.
(1)求證:AM=CN;
(2)如圖(2),在對角線DB的延長線及反向延長線上分別取點E,F(xiàn),使BE=DF,連接AE、CF,試探究:當(dāng)EF滿足什么條件時,四邊形AECF是矩形?并加以證明.

【答案】
(1)證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,

∴AD=BC,AD∥BC,∠ADM=∠CBN.

∵AM⊥BD,CN⊥BD,

∴∠AMD=∠CNB=90°,

在△AMD和△CNB中

∴△AMD≌△CNB.

∴AM=CN.


(2)猜想:當(dāng)EF=AC時,四邊形AECF是矩形.

證明:由(1)得△AMD≌△CNB,

∴DM=BN.

∵BE=DF,

∴DM+DF=BN+BE,即MF=NE.

在△AMF和△CNE中

∴△AMF≌△CNE.

∴AF=CE,∠AFE=∠CEF.

∴AF∥CE且AF=CE.

即四邊形AECF是平行四邊形.

又EF=AC,

∴四邊形AMCN是矩形


【解析】(1)利用平行四邊形的性質(zhì)證得△AMD≌△CNB,從而根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等證得結(jié)論即可;(2)利用對角線相等的平行四邊形是矩形證得結(jié)論即可.
【考點精析】通過靈活運用平行四邊形的性質(zhì)和矩形的判定方法,掌握平行四邊形的對邊相等且平行;平行四邊形的對角相等,鄰角互補;平行四邊形的對角線互相平分;有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形;有三個角是直角的四邊形是矩形;兩條對角線相等的平行四邊形是矩形即可以解答此題.

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