【題目】如圖,在平面直角坐標系中,二次函數y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點,A點在原點的左側,B點的坐標為(3,0),與y軸交于點C(0,﹣3).
(1)求二次函數解析式;
(2)若點Q為拋物線上一點,且S△ABQ=S△ACQ,求點Q的坐標;
(3)若直線l:y=mx+n與拋物線有兩個交點M,N(M在N的左邊),P為拋物線上一動點(不與M,N重合).過P作PH平行于y軸交直線l于點H,若=5,求m的值.
【答案】(1)y=x2﹣2x﹣3;(2)點Q的坐標為(,﹣)或(,);(3)m=±2.
【解析】
(1)拋物線與y軸交于點C(0,-3),則c=-3,將點B的坐標代入拋物線表達式并解得:b=-2,即可求解;
(2)分點Q在x軸下方、點Q在x軸上方兩種情況,分別求解即可;
(3)MH=(t-x1),同理:NH=(x2-t),MHMN=(m2+1)(mt+n-t2+2t+3)=(m2+1)PH,即可求解.
解:(1)拋物線與y軸交于點C(0,﹣3),則c=﹣3,
將點B的坐標代入拋物線表達式并解得:b=﹣2,
故拋物線的表達式為:y=x2﹣2x﹣3;
(2)設:點Q(m,m2﹣2m﹣3),
①當點Q在x軸下方時,如圖1,
S△ACQ=×4×(﹣m2+2m+3),
S△ABQ=S△AOC+S△QOC﹣S△AOQ=﹣×3×m﹣×1×(﹣m2+2m+3)=m2+m,
則:×4×(﹣m2+2m+3)=m2+m,
解得:m=或﹣1(舍去﹣1),故點P(,﹣);
②當點Q在x軸上方時,如圖2,
取AC的中點E(﹣,﹣),
S△ABQ=S△ACQ,則點E、B到AQ的距離相等,BE∥AQ,
直線BE的表達式中的k值為:,
同理直線BQ的表達式為:y=x+,
∴,
解得:x=或﹣1(舍去﹣1),
故點Q(,);
綜上,點Q的坐標為:(,﹣)或(,);
(3)過點H作x軸的平行線RH,過點M、N分別作RH的垂線交于點R、S,
設點M、N的橫坐標分別為x1,x2,點P(t,t2﹣2t﹣3),則點H(m,mt+n),
則PH=mt+n﹣t2+2t+3,
聯立直線與拋物線的表達式并整理得:
x2﹣(m+2)x﹣3﹣n=0,
則x1+x2=m+2,x1x2=﹣3﹣n
直線M、N的k值為m,即tan∠RHM=m=tanα,則cosα=,
∴MH=(t﹣x1),同理:NH=(x2﹣t),
∴MHMN=(m2+1)(mt+n﹣t2+2t+3)=(m2+1)PH,
而,則m2+1=5,
解得:m=±2.
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【題目】在平面直角坐標系中,拋物線y=x2﹣4x+n(x>0)的圖象記為G1,將G1繞坐標原點旋轉180°得到圖象G2,圖象G1和G2合起來記為圖象G.
(1)若點P(﹣1,2)在圖象G上,求n的值.
(2)當n=﹣1時.
①若Q(t,1)在圖象G上,求t的值.
②當k≤x≤3(k<3)時,圖象G對應函數的最大值為5,最小值為﹣5,直接寫出k的取值范圍.
(3)當以A(﹣3,3)、B(﹣3,﹣1)、C(2,﹣1)、D(2,3)為頂點的矩形ABCD的邊與圖象G有且只有三個公共點時,直接寫出n的取值范圍.
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【題目】如圖,點P是上一動點,連接AP,作∠APC=45°,交弦AB于點C.AB=6cm.
小元根據學習函數的經驗,分別對線段AP,PC,AC的長度進行了測量.
下面是小元的探究過程,請補充完整:
(1)下表是點P是上的不同位置,畫圖、測量,得到線段AP,PC,AC長度的幾組值,如下表:
AP/cm | 0 | 1.00 | 2.00 | 3.00 | 4.00 | 5.00 | 6.00 |
PC/cm | 0 | 1.21 | 2.09 | 2.69 | m | 2.82 | 0 |
AC/cm | 0 | 0.87 | 1.57 | 2.20 | 2.83 | 3.61 | 6.00 |
①經測量m的值是 (保留一位小數).
②在AP,PC,AC的長度這三個量中,確定的長度是自變量,的長度和 的長度都是這個自變量的函數;
(2)在同一平面直角坐標系xOy中,畫出(1)中所確定的函數圖象;
(3)結合函數圖象,解決問題:當△ACP為等腰三角形時,AP的長度約為 cm(保留一位小數).
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【題目】某公司根據市場需求銷售A、B兩種型號的凈水器,每臺A型凈水器比每臺B型凈水器進價多200元,用5萬元購進A型凈水器與用4.5萬元購進B型凈水器的數量相等.
(1)求每臺A型、B型凈水器的進價各是多少元?
(2)該公司計劃用不超過9.8萬元購進A,B兩種型號的凈水器共50臺,其中A型、B型凈水器每臺售價分別為2500元、2180元,設A型凈水器為x臺.
①求x的取值范圍.
②若公司決定從銷售A型凈水器的利潤中每臺捐獻a(100<a<150)元給貧困村飲水改造愛心工程,求售完這50臺凈水器后獲得的最大利潤.
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【題目】有兩個可以自由轉動的質地均勻轉盤都被分成了3個全等的扇形,在每一扇形內均標有不同的自然數,如圖所示,轉動轉盤,兩個轉盤停止后觀察并記錄兩個指針所指扇形內的數字(若指針停在扇形的邊線上,當作指向上邊的扇形).
(1)用列表法或畫樹形圖法求出同時轉動兩個轉盤一次的所有可能結果;
(2)同時轉動兩個轉盤一次,求“記錄的兩個數字之和為7”的概率.
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【題目】已知:t1,t2是方程t2+2t﹣24=0的兩個實數根,且t1<t2,拋物線y=x2+bx+c的圖象經過點A(t1,0),B(0,t2).
(1)求這個拋物線的解析式;
(2)設點P(x,y)是拋物線上一動點,且位于第三象限,四邊形OPAQ是以OA為對角線的平行四邊形,求平行四邊形OPAQ的面積S與x之間的函數關系式,并寫出自變量x的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,當平行四邊形OPAQ的面積為24時,是否存在這樣的點P,使OPAQ為正方形?若存在,求出P點坐標;若不存在,說明理由.
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【題目】已知,點M為二次函數y=x2+2bx+3c圖象的頂點,一次函數y=kx﹣3(k>0)分別交x軸,y軸于點A,B.
(1)若b=1,c=1,判斷頂點M是否在直線y=2x+1上,并說明理由;
(2)若該二次函數圖象經過點C(1,﹣4),也經過點A,B,且滿足kx﹣3<x2+2bx+3c,求該一次函數解析式,并直接寫出自變量x的取值范圍;
(3)設點P坐標為(m,n)在二次函數y=x2+2bx+3c上,當﹣2≤m≤2時,b﹣24≤n≤2b+4,試問:當b≥2或b≤﹣2時,對于該二次函數中任意的自變量x,函數值y是否始終大于﹣40?請說明理由.
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【題目】2016年,某貧困戶的家庭年人均純收入為2500元,通過政府產業(yè)扶持,發(fā)展了養(yǎng)殖業(yè)后,到2018年,家庭年人均純收入達到了3600元.
(1)求該貧困戶2016年到2018年家庭年人均純收入的年平均增長率;
(2)若年平均增長率保持不變,2019年該貧困戶的家庭年人均純收入是否能達到4200元?
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,過點A的直線PC交⊙O于A,C兩點,AD平分∠PAB,射線AD交⊙O于點D,過點D作DE⊥PA于點E.
(1)求證:ED為⊙O的切線;
(2)若AB=10,ED=2AE,求AC的長.
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