Question

【題目】我們知道：光反射時，反射光線、入射光線和法線在同一平面內(nèi)，反射光線、入射光線分別在法線兩側(cè)，反射角等于入射角．如右圖，AO為入射光線，入射點為O，ON為法線（過入射點O且垂直于鏡面的直線），OB為反射光線，此時反射角∠BON等于入射角∠AON．
問題思考：

（1）如圖1，一束光線從點A處入射到平面鏡上，反射后恰好過點B，請在圖中確定平面鏡上的入射點P，保留作圖痕跡，并簡要說明理由；
（2）如圖2，兩平面鏡OM、ON相交于點O，且OM⊥ON，一束光線從點A出發(fā)，經(jīng)過平面鏡反射后，恰好經(jīng)過點B．小昕說，光線可以只經(jīng)過平面鏡OM反射后過點B，也可以只經(jīng)過平面鏡ON反射后過點B．除了小昕的兩種做法外，你還有其它做法嗎？如果有，請在圖中畫出光線的行進路線，保留作圖痕跡，并簡要說明理由；
問題拓展：
（3）如圖3，兩平面鏡OM、ON相交于點O，且∠MON=30°，一束光線從點S出發(fā)，且平行于平面鏡OM，第一次在點A處反射，經(jīng)過若干次反射后又回到了點S，如果SA和AO的長均為1m，求這束光線經(jīng)過的路程；
（4）如圖4，兩平面鏡OM、ON相交于點O，且∠MON=15°，一束光線從點P出發(fā)，經(jīng)過若干次反射后，最后反射出去時，光線平行于平面鏡OM．設(shè)光線出發(fā)時與射線PM的夾角為θ（0°＜θ＜180°），請直接寫出滿足條件的所有θ的度數(shù)（注：OM、ON足夠長）

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1，作A關(guān)于平面鏡ML的對稱點A′，連接A′B交ML于點P，則點P即為所求．

證明：如圖作PN⊥ML，

∵A與A′關(guān)于ML對稱，

∴∠1=∠2，

∵∠2+∠3=90°，∠1+∠2+∠3+∠4=180°，

∴∠1+∠4=90°，

∴∠3=∠4，

∴AP是入射光線，PB是反射光線，P即為入射點

（2）

解：如圖2，作A關(guān)于OM的對稱點A′，作B關(guān)于ON的對稱點B′，連接A′B′分別交OM、ON于點P、Q．

則光線的行進路線為A→P→Q→B．

（3）

解：如圖3，光線的行進路線為S→A→B→C→B→A→S．

∵∠SAN=∠OAB=∠MON=∠30°，

∴OB=BA，

∵BC⊥ON，

∴CA= OA= ，

∴AB= ，BC= ，

∴這束光線經(jīng)過的路程為：SA+AB+BC+CB+BA+AS=（1+ + ）×2=2+ ．

（4）

解：）θ=30°，60°，90°，120°，150°．理由如圖所示，

【解析】（1）如圖1，作A關(guān)于平面鏡ML的對稱點A′，連接A′B交ML于點P，則點P即為所求，只要證明∠3=∠4即可．（2）如圖2，作A關(guān)于OM的對稱點A′，作B關(guān)于ON的對稱點B′，連接A′B′分別交OM、ON于點P、Q．（3）如圖3，光線的行進路線為S→A→B→C→B→A→S，則光線的行進路線為A→P→Q→B，求出SA+AB+BC+CB+BA+AS即可．（4）θ=30°，60°，90°，120°，150°，分別作出圖形即可解決問題．本題考查軸對稱、翻折變換等知識，解題的關(guān)鍵是充分利用反射角等于入射角解決問題，第四個問題容易漏解，考慮問題要全面，屬于中考壓軸題．
【考點精析】認真審題，首先需要了解軸對稱的性質(zhì)(關(guān)于某條直線對稱的兩個圖形是全等形；如果兩個圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是對應(yīng)點連線的垂直平分線；兩個圖形關(guān)于某直線對稱，如果它們的對應(yīng)線段或延長線相交，那么交點在對稱軸上)，還要掌握翻折變換（折疊問題）(折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，對稱軸是對應(yīng)點的連線的垂直平分線，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和角相等)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵．