Question

【題目】如圖①已知拋物線y=ax2﹣3ax﹣4a（a＜0）的圖象與x軸交于A、B兩點（A在B的左側），與y的正半軸交于點C，連結BC，二次函數的對稱軸與x軸的交點為E．

（1）拋物線的對稱軸與x軸的交點E坐標為_____，點A的坐標為_____；

（2）若以E為圓心的圓與y軸和直線BC都相切，試求出拋物線的解析式；

（3）在（2）的條件下，如圖②Q（m，0）是x的正半軸上一點，過點Q作y軸的平行線，與直線BC交于點M，與拋物線交于點N，連結CN，將△CMN沿CN翻折，M的對應點為M′．在圖②中探究：是否存在點Q，使得M′恰好落在y軸上？若存在，請求出Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（，0），（﹣1，0）;（2）y=﹣x2+x+3．（3）存在，點Q坐標為（，0）或（ ，0）．

【解析】分析：

（1）由拋物線的對稱軸為直線求出拋物線y=ax2﹣3ax﹣4a（a＜0）的對稱軸方程，即可求得點E的坐標；在y=ax2﹣3ax﹣4a（a＜0）令y=0可得關于x的方程ax2﹣3ax﹣4a=0，解方程即可求得點A的坐標；

（2）如圖1，設⊙E與直線BC相切于點D，連接DE，則DE⊥BC，結合（1）可得DE=OE=，EB=，OC=-4a，在Rt△BDE中由勾股定理可得BD=2，這樣由tan∠OBC=即可列出關于a的方程，解方程求得a的值即可得到拋物線的解析式；

（3）由折疊的性質和MN∥y軸可得∠MCN=∠M′CN=∠MNC，由此可得CM=MN，由點B的坐標為（4，0），點C的坐標為（0，3）可得線段BC=5，直線BC的解析式為y=﹣x+3，由此即可得到M、N的坐標分別為（m，﹣m+3）、（m，﹣m2+m+3），作MF⊥OC于F，這樣由sin∠BCO=即可解得CM=m，然后分點N在直線BC的上方和下方兩種情況用含m的代數式表達出MN的長度，結合MN=CM即可列出關于m的方程，解方程即可求得對應的m的值，從而得到對應的點Q的坐標.

詳解：

（1）∵對稱軸x=，

∴點E坐標（，0），

令y=0，則有ax2﹣3ax﹣4a=0，

∴x=﹣1或4，

∴點A坐標（﹣1，0）．

故答案分別為（，0），（﹣1，0）．

（2）如圖①中，設⊙E與直線BC相切于點D，連接DE，則DE⊥BC，

∵DE=OE=，EB=，OC=﹣4a，

∴DB=，

∵tan∠OBC=，

∴，解得a=，

∴拋物線解析式為y=．

（3）如圖②中，由題意∠M′CN=∠NCB，

∵MN∥OM′，

∴∠M′CN=∠CNM，

∴MN=CM，

∵點B的坐標為（4，0），點C的坐標為（0，3），

∴ 直線BC解析式為y=﹣x+3，BC=5，

∴M（m，﹣m+3），N（m，﹣m2+m+3），作MF⊥OC于F，

∵sin∠BCO=，

∴，

∴CM=m，

①當N在直線BC上方時，﹣x2+x+3﹣（﹣x+3）=m，

解得：m=或0（舍棄），

∴Q1（，0）．

②當N在直線BC下方時，（﹣m+3）﹣（﹣m2+m+3）=m，

解得m=或0（舍棄），

∴Q2（，0），

綜上所述：點Q坐標為（，0）或（，0）．