Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx經(jīng)過A（2，0），B（3，﹣3）兩點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為C，動點(diǎn)P在直線OB上方的拋物線上，過點(diǎn)P作直線PM∥y軸，交x軸于M，交OB于N，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．

（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)△PON為等腰三角形時，點(diǎn)N的坐標(biāo)為；當(dāng)△PMO∽△COB時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為；（直接寫出結(jié)果）
（3）直線PN能否將四邊形ABOC分為面積比為1：2的兩部分？若能，請求出m的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：根據(jù)題意，得 ，解這個方程組得

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x

當(dāng)x=﹣ =1時，y=﹣x2+2x=1，

∴C（1，1）

（2）（1，﹣1），（2，﹣2），（3﹣ ， ﹣3）；（ ， ），（ ，﹣ ）
（3）

如圖1，作BD⊥x軸于D，作CE⊥x軸于E，交OB于F

則BD=OD=3，CE=OE=1，OC=AC

∴△ODB，△OCE，△AOC均為等腰直角三角形，

∴S四邊形ABOC=S△OAC+S△OAB= + OABD=4

∴∠AOC=∠AOB=∠OAC=45°

∵PM∥y軸，

∴OM⊥PN，∠MNO=∠AOB=45°，

∴OM=MN=m，OE=EF=1

①∵S△OCF= CFOE=1 ×4

∴當(dāng)0＜m≤1時，不能滿足條件，

②當(dāng)1＜m≤2時，如圖2，設(shè)PN交AC于Q，則MQ=MA=2﹣m，

S四邊形OCQN=S△OAC+S△OMN﹣S△AMQ= OACE+ OMMN﹣ AMMQ=2m﹣1，

由S四邊形OCQM= S四邊形ABOC，得2m﹣1= ×4，解得m= ，

而1＜ ＜2，符合題意，

由S四邊形OCQN= S四邊形ABOC，得2m﹣1= ，解得m=

而1＜ ＜2，符合題意，

③當(dāng)2＜m＜3時，如圖2，作AG⊥x軸，交OB于G，

則AG=OA=2，AD=1

∴S△ABG= AGAD=1＜ ×4

∴當(dāng)2＜m＜3時，不能滿足條件

∴m= 或m= ．

【解析】（2）①∵B（3，﹣3），
∴直線OB的解析式為y=﹣x，
∵P的橫坐標(biāo)為m（0＜m＜3），
∴P（m，﹣m2+2m），
∴N（m，﹣m），
∴PN2=（﹣m2+3m）2 ， OP2=m2+（﹣m2+2m）2 ， ON2=2m2 ，
當(dāng)△PON為等腰三角形時，
①當(dāng)OP=ON時，m2+（﹣m2+2m）2=2m2 ，
∴m=0（舍）或m=1或m=3（舍），
∴N（1，﹣1）
②當(dāng)OP=PN時，（﹣m2+3m）2=m2+（﹣m2+2m）2 ，
∴m=0（舍）或m=2，
∴N（2，﹣2），
③當(dāng)ON=PN時，（﹣m2+3m）2=2m2 ，
∴m=0（舍）或m=3+ （舍）或m=3﹣ ，
∴N（3﹣ ， ﹣3），
所以答案是：（1，﹣1），（2，﹣2），（3﹣ ， ﹣3）
②∵P的橫坐標(biāo)為m（0＜m＜3），
∴P（m，﹣m2+2m），
∴M（m，0），
∴PM=|﹣m2+2m|，OM=m，
∵B（3，﹣3），
∴OB=3，
由（1）知，C（1，1），
∴OC=1，
∵△PMO∽△COB，
∴ ，
∴ ，
∴m= 或m= ，
∴P（ ， ）或（ ，﹣ ），
所以答案是：（ ， ），（ ，﹣ ），
【考點(diǎn)精析】利用等腰直角三角形和等腰三角形的性質(zhì)對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°；等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）．