(2013•柳州)如圖,⊙O的直徑AB=6,AD、BC是⊙O的兩條切線,AD=2,BC=
92

(1)求OD、OC的長;
(2)求證:△DOC∽△OBC;
(3)求證:CD是⊙O切線.
分析:(1)由AB的長求出OA與OB的長,根據(jù)AD,BC為圓的切線,利用切線的性質(zhì)得到三角形AOD與三角形BOC都為直角三角形,利用勾股定理即可求出OD與OC的長;
(2)過D作DE垂直于BC,可得出BE=AD,DE=AB,在直角三角形DEC中,利用勾股定理求出CD的長,根據(jù)三邊對應(yīng)成比例的三角形相似即可得證;
(3)過O作OF垂直于CD,根據(jù)(2)中兩三角形相似,利用相似三角形的對應(yīng)角相等得到一對角相等,利用AAS得到三角形OCF與三角形OCB全等,由全等三角形的對應(yīng)邊相等得到OF=OB,即OF為圓的半徑,即可確定出CD為圓O的切線.
解答:(1)解:∵AD、BC是⊙O的兩條切線,
∴∠OAD=∠OBC=90°,
在Rt△AOD與Rt△BOC中,OA=OB=3,AD=2,BC=
9
2

根據(jù)勾股定理得:OD=
OA2+AD2
=
13
,OC=
OB2+BC2
=
3
13
2


(2)證明:過D作DE⊥BC,可得出∠DAB=∠ABE=∠BED=90°,
∴四邊形ABED為矩形,
∴BE=AD=2,DE=AB=6,EC=BC-BE=
5
2

在Rt△EDC中,根據(jù)勾股定理得:DC=
DE2+EC2
=
13
2

OD
OB
=
OC
CB
=
DC
OC
=
13
3
,
∴△DOC∽△OBC;

(3)證明:過O作OF⊥DC,交DC于點F,
∵△DOC∽△OBC,
∴∠BCO=∠FCO,
∵在△BCO和△FCO中,
∠OBC=∠OFC=90°
∠BCO=∠FCO
OC=OC

∴△BCO≌△FCO(AAS),
∴OB=OF,
則CD是⊙O切線.
點評:此題考查了切線的判定與性質(zhì),涉及的知識有:全等三角形的判定與性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,熟練掌握切線的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.
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