Question

如圖1，兩個同樣大小的肥皂泡粘在一起，其剖面如圖所示．（點O、O′是圓心），分割兩個肥皂泡的肥皂膜PQ成一條直線，TP，NP分別為兩圓的切線．
（1）求∠TPN的大�。�
（2）如圖2，延長NP交⊙O于點A，PQ=2

3

，PQ交OO′于點B．試證明：點A、O、O′三點在同一直線上，并求出圖中陰影部分的面積．
（3）如圖3，建立平面直角坐標系，試求過點A，P，O′三點的拋物線的解析式？

Answer 1

分析：（1）由于⊙O和⊙O′是同樣的圓，易知PO=OO′=PO′，從而可知△POO′是一個等邊三角形，那么∠OPO′=60°，而PT、PN是切線，可知∠TPO=90°，∠NPO=90°，從而易求∠TPN；
（2）由于PN是切線，可知∠APO′=90°，那么AO′是直徑，故可證A、O、O′三點共線，利用相交兩圓的性質(zhì)定理可知PQ和OO′互相垂直平分，易求BP，∠BPO=30°，利用特殊三角函數(shù)值可求OB、O′B，進而可求OP，OA，利用三角形、扇形面積公式可求S_△APO′以及S_扇形O′PO，從而易求S_陰影；
（3）根據(jù)坐標系可得A、P、O′的坐標，設所求函數(shù)解析式是為y=ax²+bx+c，把三點的值代入，可得關于a、b、c的三元一次方程組，解即可．

解答：解：（1）∵PO=OO′=PO′，
∴△POO′是一個等邊三角形，
∴∠OPO′=60°，
又∵TP、NP分別為兩圓的切線，
∴∠TPO=90°，∠NPO=90°，
∴∠TPN=360°-2×90°-60°=120°；

（2）∵∠NPO′=90°，
∴∠APO′=90°，
∴AO′是⊙O的直徑，
∴A、O、O′三點共線，
根據(jù)圓的軸對稱性，該圖是一個軸對稱圖形且直線PQ是它的一條對稱軸，
∴PQ與OO′互相垂直平分，
∴PB=

3

，∠OPB=30°，
∴OB=BO′=tan30°×BP=1，PO=2=PO′，
∴AO′=4，
∴S_△APO′=

1

2

AO′•PB=

1

2

×4×

3

=2

3

，
∴S_扇形OO′P=

1

6

π•22=

2

3

π，
∴S_陰影=S_△APO′-S_扇形OO′P=2

3

-

2

3

π；

（3）∵A（-3，0），P（0，

3

），O′（1，0），
設過A，P，O′三點的函數(shù)關系式為y=ax²+bx+c，
則有

9a-3b+c=0 c= 3 a+b+c=0

，
∴

9a-3b=- 3 a+b=- 3

，
解這個方程組得，

a=- 3 3 b=- 2 3 3 c= 3

，
所以拋物線的解析式為y=-

3

3

x2-

2 3

3

x+

3

．

點評：本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)、三點共線的證明、三角形面積的計算、相交兩圓的性質(zhì)定理、扇形面積是計算、用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式．解題的關鍵是兩個同圓相交，分別過圓心，易得等邊三角形，并且知道相交兩等圓的公共弦與圓心線垂直平分．