【題目】如圖所示,拋物線y=ax2-x+c經(jīng)過原點(diǎn)O與點(diǎn)A6,0)兩點(diǎn),過點(diǎn)AACx軸,交直線y=2x-2于點(diǎn)C,且直線y=2x-2x軸交于點(diǎn)D

1)求拋物線的解析式,并求出點(diǎn)C和點(diǎn)D的坐標(biāo);

2)求點(diǎn)A關(guān)于直線y=2x-2的對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo),并判斷點(diǎn)A′是否在拋物線上,并說明理由;

3)點(diǎn)Px,y)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)Py軸的平行線,交線段CA′于點(diǎn)Q,設(shè)線段PQ的長為l,求lx的函數(shù)關(guān)系式及l的最大值.

【答案】1)拋物線解析式為y=x2-x.點(diǎn)C坐標(biāo)(6,10),點(diǎn)D的坐標(biāo)(1,0);(2)在;(3l=-x2+x+,最大值為

【解析】

1)把O、A代入拋物線解析式即可求出a、c,令y=0,即可求出D坐標(biāo),根據(jù)A、C兩點(diǎn)橫坐標(biāo)相等,即可求出點(diǎn)C坐標(biāo).

2)過點(diǎn)A′作AFx軸于點(diǎn)F,求出A′F、FO即可解決問題.

3)設(shè)點(diǎn)Pxx2-x),先求出直線A′C的解析式,再構(gòu)建二次函數(shù),利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題.

1)把點(diǎn)O0,0),A6,0)代入y=ax2-x+c,得

,解得

∴拋物線解析式為y=x2-x

當(dāng)x=6時(shí),y=2×6-2=10,

當(dāng)y=0時(shí),2x-2=0,解得x=1

∴點(diǎn)C坐標(biāo)(6,10),點(diǎn)D的坐標(biāo)(1,0);

2)過點(diǎn)A′作AFx軸于點(diǎn)F,

∵點(diǎn)D10),A60),可得AD=5,

RtACD中,CD==5

∵點(diǎn)A與點(diǎn)A′關(guān)于直線y=2x-2對(duì)稱,

∴∠AED=90°,

SADC=×5AE=×5×10,

解得AE=2,

∴AA′=2AE=4,DE=,

∵∠AED=∠AFA′=90°,∠DAE=∠A′AF,

∴△ADE∽△AA′F,

,

解得AF=4,A′F=8,

OF=8-6=2

∴點(diǎn)A′坐標(biāo)為(-2,4),

當(dāng)x=-2時(shí),y=×4-×(-2=4,

∴A′在拋物線上.

3)∵點(diǎn)P在拋物線上,則點(diǎn)Px,x2-x),

設(shè)直線A′C的解析式為y=kx+b,

∵直線A經(jīng)過A′(-2,4),C610)兩點(diǎn),

,解得,

∴直線A′C的解析式為y=x+,

∵點(diǎn)Q在直線A′C上,PQAC,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x,x+),

PQAC,又點(diǎn)Q在點(diǎn)P上方,

l=x+-x2-x=-x2+x+

lx的函數(shù)關(guān)系式為l=-x2+x+,(-2<x≤6),

l=-x2+x+=-x-2+,

∴當(dāng)x=時(shí),l的最大值為

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(1)求證:△ADE≌△BFE;

(2)如圖2,點(diǎn)G是邊BC上任意一點(diǎn)(點(diǎn)G不與點(diǎn)B、C重合),連接AG交DF于點(diǎn)H,連接HC,過點(diǎn)A作AK∥HC,交DF于點(diǎn)K.

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②當(dāng)點(diǎn)G是邊BC中點(diǎn)時(shí),恰有HD=nHK(n為正整數(shù)),求n的值.

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