【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象與x軸交于A(x1,0)、B(x2,0)(x1<x2)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,x1,x2是方程x2+4x﹣5=0的兩根.

(1)若拋物線的頂點(diǎn)為D,求S△ABC:S△ACD的值;

(2)若ADC=90°,求二次函數(shù)的解析式.

【答案】(1)1:1;(2)y=x2+x﹣

【解析】

試題分析:(1)首先解一元二次方程,求出點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo),得到含有字母a的拋物線的交點(diǎn)式;然后分別用含字母a的代數(shù)式表示出ABC與ACD的面積,最后得出結(jié)論;

(2)在RtACD中,利用勾股定理,列出一元二次方程,求出未知系數(shù)a,得出拋物線的解析式.

試題解析:(1)解方程x2+4x-5=0,得x=-5或x=1,

由于x1<x2,則有x1=-5,x2=1,

A(-5,0),B(1,0).

拋物線的解析式為:y=a(x+5)(x-1)(a>0),

對(duì)稱軸為直線x=-2,頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-2,-9a),

令x=0,得y=-5a,

C點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,-5a).

依題意畫出圖形,如右圖所示,則OA=5,OB=1,AB=6,OC=5a,

過(guò)點(diǎn)D作DEy軸于點(diǎn)E,則DE=2,OE=9a,CE=OE-OC=4a.

SACD=S梯形ADEO-SCDE-SAOC
=(DE+OA)OE-DECE-OAOC=(2+5)9a-×2×4a-×5×5a=15a,

而SABC=ABOC=×6×5a=15a,

SABC:SACD=15a:15a=1:1;

(2)如解答圖,過(guò)點(diǎn)D作DEy軸于E

在RtDCE中,由勾股定理得:CD2=DE2+CE2=4+16a2

在RtAOC中,由勾股定理得:AC2=OA2+OC2=25+25a2,

設(shè)對(duì)稱軸x=-2與x軸交于點(diǎn)F,則AF=3,

在RtADF中,由勾股定理得:AD2=AF2+DF2=9+81a2

∵∠ADC=90°,∴△ACD為直角三角形,

由勾股定理得:AD2+CD2=AC2,

即(9+81a2)+(4+16a2)=25+25a2,化簡(jiǎn)得:a2=

a>0,

a=

∴拋物線的解析式為:y=(x+5)(x﹣1)=x2+x﹣

考點(diǎn): 二次函數(shù)綜合題.

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