Question

【題目】如圖1，拋物線y=ax2+bx+ 經(jīng)過(guò)A（1，0），B（7，0）兩點(diǎn)，交y軸于D點(diǎn)，以AB為邊在x軸上方作等邊三角形ABC．

（1）求拋物線的解析式；
（2）在x軸上方的拋物線上是否存在點(diǎn)M，是S△ABM= S△ABC？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）如圖2，E是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，AF與BE相交于點(diǎn)P．
①若CE=BF，試猜想AF與BE的數(shù)量關(guān)系及∠APB的度數(shù)，并說(shuō)明理由；
②若AF=BE，當(dāng)點(diǎn)E由A運(yùn)動(dòng)到C時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）解：將點(diǎn)A（1，0），B（7，0）代入拋物線的解析式得： ，

解得：a= ，b=﹣2．

∴拋物線的解析式為y= x2﹣2x+ ．

（2）解：存在點(diǎn)M，使得S△ABM= S△ABC．

理由：如圖所示：過(guò)點(diǎn)C作CK⊥x軸，垂足為K．

∵△ABC為等邊三角形，

∴AB=BC=AC=6，∠ACB=60°．

∵CK⊥AB，

∴KA=BK=3，∠ACK=30°．

∴CK=3 ．

∴S△ABC= ABCK= ×6×3=9 ．

∴S△ABM= ×9 =12．

設(shè)M（a， a2﹣2a+ ）．

∴ AB|y|=12，即 ×6×（ a2﹣2a+ ）=12，

解得：a1=9，a2=﹣1．

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（9，4）或（﹣1，4）．

（3）解：①結(jié)論：AF=BE，∠APB=120°．

∵△ABC為等邊三角形，

∴BC=AB，∠C=∠ABF．

∵在△BEC和△AFB中 ，

∴△BEC≌△AFB．

∴AF=BE，∠CBE=∠BAF．

∴∠FAB+∠ABP=∠ABP+∠CBE=∠ABC=60°．

∴∠APB=180°﹣60°=120°．

②當(dāng)AE≠BF時(shí)，由①可知點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上，過(guò)點(diǎn)M作ME⊥AB，垂足為E．

∵∠APB=120°，

∴∠N=60°．

∴∠AMB=120°．

又∵M(jìn)E⊥AB，垂足為E，

∴AE=BE=3，∠AME=60°．

∴AM=2 ．

∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑= = ．

當(dāng)AE=BF時(shí)，點(diǎn)P在AB的垂直平分線上時(shí)，如圖所示：過(guò)點(diǎn)C作CK⊥AB，則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑=CK的長(zhǎng)．

∵AC=6，∠CAK=60°，

∴KC=3 ．

∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑為3 ．

綜上所述，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑為3 或 ．

【解析】（1）將點(diǎn)A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，建立方程組，即可求出拋物線的解析式。
（2）已知△ABC為等邊三角形，要求此三角形的面積，添加輔助線，過(guò)點(diǎn)C作CK⊥x軸，求出△ABC的高CK的長(zhǎng)，就可以求出△ABC的面積；根據(jù)S△ABM 和S△ABC的關(guān)系，求出S△ABM的值，由點(diǎn)M在x軸上方的拋物線上，設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，根據(jù)S△ABM=12，建立方程，即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)。
（3）①根據(jù)已知，易證得△BEC≌△AFB．可得AF=BE，∠CBE=∠BAF．再求出∠FAB+∠ABP的度數(shù)，即可求得∠APB度數(shù)；②分兩種情況：當(dāng)AE≠BF時(shí)，由①可知點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上，過(guò)點(diǎn)M作ME⊥AB，垂足為E．根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，求出∠N的度數(shù)，根據(jù)圓周角定理，求出∠AMB的度數(shù)，然后過(guò)點(diǎn)E作ME⊥AB，垂足為E，就可以求出AM的長(zhǎng)，即可求出點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)；當(dāng)AE=BF時(shí)，點(diǎn)P在AB的垂直平分線上時(shí)，如圖所示：過(guò)點(diǎn)C作CK⊥AB，則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑=CK的長(zhǎng)，在Rt△AKC中，易求出KC的長(zhǎng)。
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的解直角三角形，需要了解解直角三角形的依據(jù)：①邊的關(guān)系a2+b2=c2；②角的關(guān)系：A+B=90°；③邊角關(guān)系：三角函數(shù)的定義．(注意：盡量避免使用中間數(shù)據(jù)和除法)才能得出正確答案．