【題目】在一次科技活動(dòng)中,小明進(jìn)行了模擬雷達(dá)掃描實(shí)驗(yàn).如圖,表盤(pán)是△ABC,其中AB=AC,∠BAC=120°,在點(diǎn)A處有一束紅外光線(xiàn)AP,從AB開(kāi)始,繞點(diǎn)A逆時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn),每秒鐘旋轉(zhuǎn)15°,到達(dá)AC后立即以相同旋轉(zhuǎn)速度返回AB,到達(dá)后立即重復(fù)上述旋轉(zhuǎn)過(guò)程.小明通過(guò)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn),光線(xiàn)從AB處旋轉(zhuǎn)開(kāi)始計(jì)時(shí),旋轉(zhuǎn)1秒,此時(shí)光線(xiàn)AP交BC邊于點(diǎn)M,BM的長(zhǎng)為(20 ﹣20)cm.
(1)求AB的長(zhǎng);
(2)從AB處旋轉(zhuǎn)開(kāi)始計(jì)時(shí),若旋轉(zhuǎn)6秒,此時(shí)光線(xiàn)AP與BC邊的交點(diǎn)在什么位置?若旋轉(zhuǎn)2014秒,交點(diǎn)又在什么位置?請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】
(1)解:如圖1,過(guò)A點(diǎn)作AD⊥BC,垂足為D.

∵∠BAC=120°,AB=AC,

∴∠ABC=∠C=30°.

令A(yù)B=2tcm.

在Rt△ABD中,AD= AB=t,BD= AB= t.

在Rt△AMD中,∵∠AMD=∠ABC+∠BAM=45°,

∴MD=AD=t.

∵BM=BD﹣MD.即 t﹣t=20 ﹣20.

解得t=20.

∴AB=2×20=40cm.

答:AB的長(zhǎng)為40cm.


(2)解:如圖2,當(dāng)光線(xiàn)旋轉(zhuǎn)6秒,

設(shè)AP交BC于點(diǎn)N,此時(shí)∠BAN=15°×6=90°.

在Rt△ABN中,BN= = =

∴光線(xiàn)AP旋轉(zhuǎn)6秒,與BC的交點(diǎn)N距點(diǎn)B cm處.

如圖3,設(shè)光線(xiàn)AP旋轉(zhuǎn)2014秒后光線(xiàn)與BC的交點(diǎn)為Q.

由題意可知,光線(xiàn)從邊AB開(kāi)始到第一次回到AB處需8×2=16秒,

而2014=125×16+14,即AP旋轉(zhuǎn)2014秒與旋轉(zhuǎn)14秒時(shí)和BC的交點(diǎn)是同一個(gè)點(diǎn)Q.

旋轉(zhuǎn)14s的過(guò)程是B→C:8s,C→Q:6s,因此CQ=BN= ,

∵AB=AC,∠BAC=120°,

∴BC=2ABcos30°=2×40× =40

∴BQ=BC﹣CQ=40 = ,

∴光線(xiàn)AP旋轉(zhuǎn)2014秒后,與BC的交點(diǎn)Q在距點(diǎn)B cm處.


【解析】(1)如圖1,過(guò)A點(diǎn)作AD⊥BC,垂足為D.令A(yù)B=2tcm.在Rt△ABD中,根據(jù)三角函數(shù)可得AD= AB=t,BD= AB= t.在Rt∠AMD中,MD=AD=t.由BM=BD﹣MD,得到關(guān)于t的方程,求得t的值,從而求得AB的長(zhǎng);(2)如圖2,當(dāng)光線(xiàn)旋轉(zhuǎn)6秒,設(shè)AP交BC于點(diǎn)N,在Rt△ABN中,根據(jù)三角函數(shù)可得BN;如圖3,設(shè)光線(xiàn)AP旋轉(zhuǎn)2014秒后光線(xiàn)與BC的交點(diǎn)為Q.求得CQ= ,BC=40 .根據(jù)BQ=BC﹣CQ即可求解.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)觀察猜想

如圖①,當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段BC上時(shí)。

BCCF的位置關(guān)系為:___;

BC,CD,CF之間的數(shù)量關(guān)系為:___;(將結(jié)論直接寫(xiě)在橫線(xiàn)上)

(2)數(shù)學(xué)思考

如圖②,當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí),結(jié)論①,②是否仍然成立?若成立,請(qǐng)給予證明;若不成立,請(qǐng)你寫(xiě)出正確結(jié)論再給予證明;

(3)拓展延伸

如圖③,當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí),延長(zhǎng)BACF于點(diǎn)G,連接GE.若已知AB=,CD=BC,請(qǐng)求出GE的長(zhǎng)。

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②將與取出球所標(biāo)字母相同的卡片翻過(guò)來(lái);
③將取出的球放回袋中
再次操作后,觀察卡片的顏色.

(如:第一次取出球A,第二次取出球B,此時(shí)卡片的顏色變
(1)求四張卡片變成相同顏色的概率;
(2)求四張卡片變成兩黑兩白,并恰好形成各自顏色矩形的概率.

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(2)如圖(2),點(diǎn)FBC上,∠BFE=ACB,BEFE于點(diǎn)E,ABFE交于點(diǎn)D,F(xiàn)HACABH,延長(zhǎng)FH、BE相交于點(diǎn)G,求證:BE=FD;

(3)如圖(3),點(diǎn)FBC延長(zhǎng)線(xiàn)上,∠BFE=ACB,BEFE于點(diǎn)E,F(xiàn)EBA延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D,請(qǐng)你直接寫(xiě)出線(xiàn)段BEFD的數(shù)量關(guān)系(不需要證明).

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