【題目】(題文)(1)閱讀理解:

如圖1,在△ABC中,若AB=10,AC=6,求BC邊上的中線AD的取值范圍.

解決此問題可以用如下方法:延長AD到點E使DE=AD,連接BE(或?qū)ⅰ鰽CD繞著點D逆時針旋轉(zhuǎn)180°得到△EBD,把AB,AC,2AD集中在△ABE中.利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線AD的取值范圍是_________;

(2)問題解決:

如圖2,在△ABC中,D是BC邊上的中點,DE⊥DF于點D,DE交AB于點E,DF交AC于點F,連接EF,求證BE+CF>EF.

【答案】(1)2<AD<8(2)證明見解析

【解析】試題分析:(1)延長ADE,使AD=DE,連接BE,ADCEDB,推出EB=AC,根據(jù)三角形的三邊關(guān)系求出即可;
(2)先利用ASA判定BGDCFD,從而得出BG=CF;再利用全等的性質(zhì)可得GD=FD,BG=CF,再有DEDF,從而得出EG=EF,兩邊和大于第三邊從而得出BE+CF>EF.

試題解析:(1)延長ADE,使AD=DE,連接BE,

ADABC的中線,

BD=CD,

ADCEDB,

∴△ADCEDB(SAS),

EB=AC,

根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得:ABAC<AE<AC+AB

4<AE<16,

AE=2AD

2<AD<8,

即:BC邊上的中線AD的取值范圍2<AD<8;

故答案為:2<AD<8.

(2)BE+CF>EF.

理由:如圖2,

過點BFD的延長線于G,

∴∠DBG=DCF.

DBC的中點,

BD=CD

又∵∠BDG=CDF,

在△BGD與△CFD,

∴△BGD≌△CFD(ASA).

GD=FDBG=CF.

又∵DEDF,

EG=EF(垂直平分線到線段端點的距離相等).

∴在△EBG中,BE+BG>EG,

BE+CF>EF.

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