【題目】問題發(fā)現(xiàn):(1)如圖1,在等腰直角三角形中,,點為的中點,點為上一點,將射線順時針旋轉(zhuǎn)交于點,則與的數(shù)量關(guān)系為____;
問題探究:(2)如圖2,在等腰三角形中,,點為的中點,點為上一點,將射線順時針旋轉(zhuǎn)交于點,則與的數(shù)量關(guān)系是否改變,請說明理由;
問題解決:(3)如圖3,點為正方形對角線的交點,點為的中點,點為直線上一點,將射線順時針旋轉(zhuǎn)交直線于點,若,當面積為時,直接寫出線段的長.
【答案】(1)OM=ON;(2)不改變;證明見解析;(3)線段BN的長為或
【解析】
(1)連接,OC,證明△AOM≌△CON(ASA)可得結(jié)論.
(2)數(shù)量關(guān)系不變.如圖2中,過點O作OK⊥AC于K,OJ⊥BC于J,連接OC.證明△OKM≌△OJN(AAS)可得結(jié)論.
(3)如圖3中,過點P作PG⊥AB于G,PH⊥BC于H.證明△MOC≌△NOB(SAS),推出CM=BN,設(shè)CM=BN=m,根據(jù)S△PMN==S△PBM+S△BMN-S△PBN,構(gòu)建方程求解即可.當點M在CB的延長線上時,同法可求.
解:(1)如圖1中,結(jié)論:OM=ON.
理由:連接OC.
∵CA=CB,∠ACB=90°,AO=OB,
∴CO=OA=OB,OC⊥AB,∠A=∠B=45°,∠BCO=∠ACO=45°
∴∠AOC=∠MON=90°,
∴∠AOM=∠CON,
∵∠A=∠CON,
∴△AOM≌△CON(ASA),
∴OM=ON.
故答案為:OM=ON.
(2)理由:如圖2中,過點O作OK⊥AC于K,OJ⊥BC于J,連接OC.
∵∠ACB=120°,∠OKC=∠OJC=90°,
∴∠KOJ=60°=∠MON,
∴∠MKO=∠NOJ,
∵CA=CB,OA=OB,
∴OC平分∠ACB,
∵OK⊥CA,OJ⊥CB,
∴OK=OJ,
∵∠OKM=∠OJN=90°,
∴△OKM≌△OJN(AAS),
∴OM=ON.
(3)如圖3中,過點P作PG⊥AB于G,PH⊥BC于H.
∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=AD=4,∠BAD=90°,
∴BD=AB=4,
∴OD=OB=2,PD=OP=,
∴PB=3,
∵四邊形PGBH是正方形,
∴PG=PH=3,
∵∠MON=∠COB=90°,
∴∠MOC=∠NOB,
∵OM=ON,OC=OB,
∴△MOC≌△NOB(SAS),
∴CM=BN,設(shè)CM=BN=m,
∵S△PMN==S△PBM+S△BMN-S△PBN,
∴(4+m)3+m(4+m)m3=,
∴整理得:m2+4m-13=0,
解得m=或(舍去),
∴BN=.
當點M在CB的延長線上時,同法可得BN=.
綜上所述,滿足條件的BN的值為或.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】疫情過后,為了促進消費,某商場設(shè)計了一種促銷活動:在一個不透明的箱子里放有四個相同的小球,球上分別標有“10元”、“20元”、“30元”和“40元”的字樣,規(guī)定:在本商場同一日內(nèi),顧客每消費滿500元,就可以在箱子里先后摸出兩個球(第一次摸出后不放回)。商場根據(jù)兩小球所標金額的和返還相等價格的購物券,購物券可以在本商場消費.某顧客剛好消費500元.
(1)該順客最多可得到______元購物券;
(2)請你用畫樹狀圖或列表的方法,求出該顧客所獲得購物券的金額不低于60元的概率.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在矩形ABCD中,AB=12,P是邊AB上一點,把△PBC沿直線PC折疊,頂點B的對應(yīng)點是點G,過點B作BE⊥CG,垂足為E且在AD上,BE交PC于點F.
(1)如圖1,若點E是AD的中點,求證:△AEB≌△DEC;
(2)如圖2,①求證:BP=BF;
②當AD=25,且AE<DE時,求cos∠PCB的值;
③當BP=9時,求BEEF的值.
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【題目】已知函數(shù)y=(x>0)的圖象與一次函數(shù)y=ax﹣2(a≠0)的圖象交于點A(3,n).
(1)求實數(shù)a的值;
(2)設(shè)一次函數(shù)y=ax﹣2(a≠0)的圖象與y軸交于點B,若點C在y軸上,且S△ABC=2S△AOB,求點C的坐標.
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【題目】如圖,在矩形中,,,點為邊上點,沿折疊,點在矩形內(nèi)部的對應(yīng)點為,若點到矩形兩條較長邊的距離之比為,則的長為____.
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【題目】如圖,以等邊△ABC的邊BC為直徑作⊙O,分別交AB、AC于點D、E,過點D作DF⊥AC交AC于點F.
(1)求證:DF是⊙O的切線;
(2)若等邊△ABC的邊長為8,求圖中陰影部分的面積.
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【題目】設(shè)一次函數(shù)y=ax+b(a,b是常數(shù),且a≠0)的圖象A(1,3)和B(-1,-1)兩點.
(1)求該一次函數(shù)的表達式.
(2)①若點( ,2)在(1)中的函數(shù)圖象上,求m的值.
②若(1)中的函數(shù)圖象和y=-2x+n的函數(shù)圖象的交點在第一象限,求n的取值范圍.
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【題目】為了解某地區(qū)中學生一周課外閱讀時長的情況,隨機抽取部分中學生進行調(diào)查,根據(jù)調(diào)查結(jié)果,將閱讀時長分為四類:2小時以內(nèi),2~4小時(含2小時),4~6小時(含4小時),6小時及以上,并繪制了如圖所示尚不完整的統(tǒng)計圖.
(1)本次調(diào)查共隨機抽取了 名中學生,其中課外閱讀時長“2~4小時”的有 人;
(2)扇形統(tǒng)計圖中,課外閱讀時長“4~6小時”對應(yīng)的圓心角度數(shù)為 °;
(3)若該地區(qū)共有20000名中學生,估計該地區(qū)中學生一周課外閱讀時長不少于4小時的人數(shù).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】科技改變世界.隨著科技的發(fā)展,自動化程度越來越高,機器人市場越來越火.某商場購進一批,兩種品牌的編程機器人,進價分別為每臺3000元、4000元.市場調(diào)查發(fā)現(xiàn):銷售3個品牌機器人和2個品牌機器人,可獲利潤6000元;銷售2個品牌機器人和3個品牌機器人,可獲利潤6500元.
(1)此商場.兩種品牌的編程機器人銷售價格分別是多少元?
(2)若商場準備用不多于65000元的資金購進,兩種品牌的編程機器人共20個,則至少需要購進品牌的編程機器人多少個?
(3)不考慮其它因素,商場打算品牌編程機器人數(shù)量不多于品牌編程機器人數(shù)量的,現(xiàn)打算購進,兩種品牌編程機器人共40個,怎樣進貨才能獲得最大的利潤?
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