Question

【題目】若一次函數y＝kx+m的圖象經過二次函數y＝ax2+bx+c的頂點，我們則稱這兩個函數為“丘比特函數組”

（1）請判斷一次函數y＝﹣3x+5和二次函數y＝x2﹣4x+5是否為“丘比特函數組”，并說明理由．

（2）若一次函數y＝x+2和二次函數y＝ax2+bx+c為“丘比特函數組”，已知二次函數y＝ax2+bx+c頂點在二次函數y＝2x2﹣3x﹣4圖象上并且二次函數y＝ax2+bx+c經過一次函數y＝x+2與y軸的交點，求二次函數y＝ax2+bx+c的解析式；

（3）當﹣3≤x≤﹣1時，二次函數y＝x2﹣2x﹣4的最小值為a，若“丘比特函數組”中的一次函數y＝2x+3和二次函數y＝ax2+bx+c（b、c為參數）相交于PQ兩點請問PQ的長度為定值嗎？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）不是，見解析；（2）拋物線的表達式為：y＝﹣x2+2x+2或y＝x2+2x+2；（3）2，為定值，見解析

【解析】

（1）y=x2-4x+5=(x-2)2+1，即頂點坐標為（2，1），當x=2時，y=-3x+5=-1≠1，即可求解；

（2）根據題意可設頂點坐標為（m，m+2），將頂點坐標代入二次函數y=2x2-3x-4得：m+2=2m2-3m-4，解得：m=3或-1，即可求解；

（3）根據函數與x軸交點判斷出：當-3≤x≤-1時，函數在x=-1時取得最小值，即a=1+2-4=-1，設拋物線的頂點為P(m，2m+3)， “丘比特函數組”另外一個交點為Q(x，2x+3)，則拋物線的表達式為：y=a(x-m)2+(2m+3)=-(x-m)2+(2m+3)，把Q代入得：-(x-m)2+(2m+3)=2x+3，進行整理，再由韋達定理得：x+m=2m-2，解得：x=m-2，故點Q（m-2，2m-1），即可求解．

解：（1）y＝x2﹣4x+5＝(x﹣2)2+1，即頂點坐標為（2，1），

當x＝2時，y＝﹣3x+5＝-1≠1，

故一次函數y＝﹣3x+5和二次函數y＝x2﹣4x+5不是“丘比特函數組”；

（2）設二次函數的頂點為：（m，m+2），

將頂點坐標代入二次函數y＝2x2﹣3x﹣4得：m+2＝2m2﹣3m﹣4，

解得：m＝3或﹣1，

當m＝3時，函數頂點為(3，5)， 則二次函數表達式為：y＝a(x﹣3)2+5，

又∵一次函數y＝x+2與y軸的交點為：(0，2)，

∴把(0，2)代入得：9a+5＝2，解得：a＝，

故拋物線的表達式為：y＝x2+2x+2；

同理當m＝﹣1時，拋物線的表達式為：y＝x2+2x+2，

綜上，拋物線的表達式為：y＝x2+2x+2或y＝x2+2x+2；

（3）是定值，理由：

令y＝x2﹣2x﹣4＝0，則x＝1±，

故當﹣3≤x≤﹣1時，函數在x＝﹣1時取得最小值，

即a＝1+2﹣4＝﹣1，

設拋物線的頂點為P(m，2m+3)， “丘比特函數組”另外一個交點為Q(x，2x+3)，

則拋物線的表達式為：y＝a(x﹣m)2+(2m+3)＝﹣(x﹣m)2+(2m+3)，

把Q代入得：﹣(x﹣m)2+(2m+3)＝2x+3，

整理得：x2+(2﹣2m)x+(m2﹣2m)＝0，

由韋達定理得：x+m＝2m﹣2，解得：x＝m﹣2，故點Q(m﹣2，2m﹣1)，

則PQ＝＝2，為定值．