【題目】如圖:在△ABC中,CE、CF分別平分∠ACB與它的鄰補角∠ACD,AE⊥CE于E,AF⊥CF于F,直線EF分別交AB、AC于M、N.
(1)求證:四邊形AECF為矩形;
(2)試猜想MN與BC的關(guān)系,并證明你的猜想;
(3)如果四邊形AECF是菱形,試判斷△ABC的形狀,直接寫出結(jié)果,不用說明理由.
【答案】(1)詳見解析;(2)MN∥BC且MN=BC,證明詳見解析;(3)△ABC是直角三角形(∠ACB=90°)
【解析】
(1)根據(jù)題意直接證明三個角是直角即可解決問題;
(2)由題意可知結(jié)論:MN∥BC且MN=BC.只要證明MN是△ABC的中位線即可;
(3)由題意根據(jù)菱形的性質(zhì)進行分析即可判定△ABC是直角三角形(∠ACB=90°).
(1)證明:∵AE⊥CE于E,AF⊥CF于F,
∴∠AEC=∠AFC=90°,
又∵CE、CF分別平分∠ACB與它的鄰補角∠ACD,
∴∠BCE=∠ACE,∠ACF=∠DCF,
∴∠ACE+∠ACF=(∠BCE+∠ACE+∠ACF+∠DCF)=×180°=90°,
∴三個角為直角的四邊形AECF為矩形.
(2)結(jié)論:MN∥BC且MN=BC.
證明:∵四邊形AECF為矩形,
∴對角線相等且互相平分,
∴NE=NC,
∴∠NEC=∠ACE=∠BCE,
∴MN∥BC,
又∵AN=CN(矩形的對角線相等且互相平分),
∴N是AC的中點,
若M不是AB的中點,則可在AB取中點M1,連接M1N,
則M1N是△ABC的中位線,M1N∥BC,
而MN∥BC,M1即為點M,
所以MN是△ABC的中位線(也可以用平行線等分線段定理,證明AM=BM)
∴MN=BC.
(3)解:△ABC是直角三角形(∠ACB=90°).
理由:∵四邊形AECF是菱形,
∴AC⊥EF,
∵EF∥AC,
∴AC⊥CB,
∴∠ACB=90°.即△ABC是直角三角形.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在每個邊長為1的小正方形的網(wǎng)格中,△ABC的頂點A,B,C在格點上,P是BC邊上任意一點,以A為中心,取旋轉(zhuǎn)角等于∠BAC,把點P逆時針旋轉(zhuǎn),點P的對應(yīng)點為點P',當(dāng)CP'最短時,畫出點P',并說明CP'最短的理由是______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,直線l:y=x+m與x軸、y軸分別交于點A和點B(0,﹣1),拋物線y= x2+bx+c經(jīng)過點B,與直線l的另一個交點為C(4,n).
(1)求n的值和拋物線的解析式;
(2)點D在拋物線上,DE∥y軸交直線l于點E,點F在直線l上,且四邊形DFEG為矩形(如圖2),設(shè)點D的橫坐標(biāo)為t(0<t<4),矩形DFEG的周長為p,求p與t的函數(shù)關(guān)系式以及p的最大值;
(3)將△AOB繞平面內(nèi)某點M旋轉(zhuǎn)90°或180°,得到△A1O1B1,點A、O、B的對應(yīng)點分別是點A1、O1、B1.若△A1O1B1的兩個頂點恰好落在拋物線上,那么我們就稱這樣的點為“落點”,請直接寫出“落點”的個數(shù)和旋轉(zhuǎn)180°時點A1的橫坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點A、B、C、P在⊙O上,CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分別為D,E,∠DCE=40°,則∠P的度數(shù)為( 。
A.70°B.60°C.40°D.35°
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知正方形ABCD,點M為邊AB的中點.
(1)如圖1,點G為線段CM上的一點,且∠AGB=90°,延長AG、BG分別與邊BC、CD交于點E、F.
①求證:BE=CF;
②求證:BE2=BCCE.
(2)如圖2,在邊BC上取一點E,滿足BE2=BCCE,連接AE交CM于點G,連接BG并延長交CD于點F,求tan∠CBF的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解學(xué)生假期的課外閱讀情況,某校隨機抽查了八年級學(xué)生閱讀課外書的冊數(shù)并作了統(tǒng)計,繪制出如下統(tǒng)計圖,其中條形統(tǒng)計圖因為破損丟失了閱讀5冊書的數(shù)據(jù),根據(jù)以上信息,解答下列問題:
(1)請補全條形統(tǒng)計圖中丟失的數(shù)據(jù)和扇形統(tǒng)計圖;
(2)閱讀課外書冊數(shù)的眾數(shù)為______冊;
(3)根據(jù)隨機抽查的這個結(jié)果,請估計該校1200名學(xué)生中課外書閱讀7冊書的學(xué)生人數(shù)?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在菱形ABCD中,∠A=120°,點E是BC邊的中點,點P是對角線BD上一動點,設(shè)PD的長度為x,PE與PC的長度和為y,圖2是y關(guān)于x的函數(shù)圖象,其中H是圖象上的最低點,則a+b的值為( 。
A.7B.C.D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】菱形ABCD中, ,其周長為32,則菱形面積為____________.
【答案】
【解析】分析:根據(jù)菱形的性質(zhì)易得AB=BC=CD=DA=8,AC⊥BD, OA=OC,OB=OD,再判定△ABD為等邊三角形,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AB=BD=8,從而得OB=4,在Rt△AOB中,根據(jù)勾股定理可得OA=4,繼而求得AC=2AO=,再由菱形的面積公式即可求得菱形ABCD的面積.
詳解:∵菱形ABCD中,其周長為32,
∴AB=BC=CD=DA=8,AC⊥BD, OA=OC,OB=OD,
∵,
∴△ABD為等邊三角形,
∴AB=BD=8,
∴OB=4,
在Rt△AOB中,OB=4,AB=8,
根據(jù)勾股定理可得OA=4,
∴AC=2AO=,
∴菱形ABCD的面積為: =.
點睛:本題考查了菱形性質(zhì):1.菱形的四個邊都相等;2.菱形對角線相互垂直平分,并且每一組對角線平分一組對角;3.菱形面積公式=對角線乘積的一半.
【題型】填空題
【結(jié)束】
17
【題目】如圖,在△ABC中, , AC=BC=3, 將△ABC折疊,使點A落在BC 邊上的點D處,EF為折痕,若AE=2,則的值為_____________.
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