【題目】如圖,在每個(gè)邊長為1的小正方形的網(wǎng)格中,△ABC的頂點(diǎn)A,B,C在格點(diǎn)上,P是BC邊上任意一點(diǎn),以A為中心,取旋轉(zhuǎn)角等于∠BAC,把點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)P',當(dāng)CP'最短時(shí),畫出點(diǎn)P',并說明CP'最短的理由是______.
【答案】垂線段最短.
【解析】
連CF,根據(jù)已知條件得到A、C、F共線,求得AF=5=AB,根據(jù)相似三角形的想知道的∠GFC=∠B,求得∠TCA=∠TAC,得到CP′⊥GF,于是得到結(jié)論.
解:作圖過程如下:
取格點(diǎn)D,E,連接DE交AB于點(diǎn)T;取格點(diǎn)M,N,連接MN交BC延長線于點(diǎn)G:取格點(diǎn)F,連接FG交TC延長線于點(diǎn)P′,則點(diǎn)P′即為所求
證明:連CF,
∵AC,CF為正方形網(wǎng)格對(duì)角線
∴A、C、F共線
∴AF=5=AB,
由圖形可知:GC=,CF=2 ,
∵AC==3,BC=4,
∴△ACB∽△GCF,
∴∠GFC=∠B,
∵AF=5=AB,
∴當(dāng)BC邊繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠CAB時(shí),點(diǎn)B與點(diǎn)F重合,點(diǎn)C在射線FG上.
由作圖可知T為AB中點(diǎn),
∴∠TCA=∠TAC,
∴∠F+∠P′CF=∠B+∠TCA=∠B+∠TAC=90°,
∴CP′⊥GF,
此時(shí),CP′最短,
故答案為垂線段最短.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在每個(gè)小正方形的邊長為的網(wǎng)格中,點(diǎn)均在格點(diǎn)上,為小正方形邊中點(diǎn).
(1)的長等于 ______;
(2)請(qǐng)?jiān)谌鐖D所示的網(wǎng)格中,用無刻度的直尺,畫出一個(gè)點(diǎn),使其滿足說明點(diǎn)的位置是如何找到的(不要求證明)______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn),點(diǎn),與軸交于點(diǎn),
(1)求、的值:
(2)若點(diǎn)為直線上一點(diǎn),點(diǎn)到直線、兩點(diǎn)的距離相等,將該拋物線向左(或向右)平移,得到一條新拋物線,并且新拋物線經(jīng)過點(diǎn),求新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】受疫情的影響,很多農(nóng)產(chǎn)品滯銷,各大電商發(fā)起了“愛心助農(nóng)”活動(dòng),幫助農(nóng)戶進(jìn)行農(nóng)產(chǎn)品銷售.已知某種橘子的成本為4元/千克,經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),一天內(nèi)橘子的銷售量y(千克)與銷售單價(jià)x(元/千克)(4≤x≤10)的函數(shù)關(guān)系如下圖所示:
(1)當(dāng)4≤x≤8時(shí),求y與x的函數(shù)解析式;
(2)當(dāng)4≤x≤8時(shí),要使一天內(nèi)獲得的利潤為1200元,單價(jià)應(yīng)定為多少?
(3)求橘子的單價(jià)定為多少時(shí),一天內(nèi)獲得的利潤最大,最大利潤為多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】中華文明,源遠(yuǎn)流長;中華漢字,寓意深廣.為了傳承中華民族優(yōu)秀傳統(tǒng)文化,我市某中學(xué)舉行“漢字聽寫”比賽,賽后整理參賽學(xué)生的成績,將學(xué)生的成績分為A,B,C,D四個(gè)等級(jí),并將結(jié)果繪制成如圖所示的條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖,但均不完整.
請(qǐng)你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖解答下列問題:
(1)參加比賽的學(xué)生共有____名;
(2)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中,m的值為____,表示“D等級(jí)”的扇形的圓心角為____度;
(3)組委會(huì)決定從本次比賽獲得A等級(jí)的學(xué)生中,選出2名去參加全市中學(xué)生“漢字聽寫”大賽.已知A等級(jí)學(xué)生中男生有1名,請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖法求出所選2名學(xué)生恰好是一名男生和一名女生的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,Rt△ABC中,∠C = 90°, P是CB邊上一動(dòng)點(diǎn),連接AP,作PQ⊥AP交AB于Q . 已知AC = 3cm,BC = 6cm,設(shè)PC的長度為xcm,BQ的長度為ycm .
小青同學(xué)根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)對(duì)函數(shù)y隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進(jìn)行了探究.
下面是小青同學(xué)的探究過程,請(qǐng)補(bǔ)充完整:
(1) 按照下表中自變量x的值進(jìn)行取點(diǎn)、畫圖、測(cè)量,分別得到了y的幾組對(duì)應(yīng)值;
x/cm | 0 | 0.5 | 1.0 | 1.5 | 2.0 | 2.5 | 3 | 3.5 | 4 | 4.5 | 5 | 6 |
y/cm | 0 | 1.56 | 2.24 | 2.51 | m | 2.45 | 2.24 | 1.96 | 1.63 | 1.26 | 0.86 | 0 |
(說明:補(bǔ)全表格時(shí),相關(guān)數(shù)據(jù)保留一位小數(shù))
m的值約為多少cm;
(2)在平面直角坐標(biāo)系中,描出以補(bǔ)全后的表格中各組數(shù)值所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(x ,y),畫出該函數(shù)的圖象;
(3)結(jié)合畫出的函數(shù)圖象,解決問題:
①當(dāng)y > 2時(shí),寫出對(duì)應(yīng)的x的取值范圍;
②若點(diǎn)P不與B,C兩點(diǎn)重合,是否存在點(diǎn)P,使得BQ=BP?(直接寫結(jié)果)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線與雙曲線相交于點(diǎn).
求雙曲線的表達(dá)式;
過動(dòng)點(diǎn)且垂直于x軸的直線與直線及雙曲線的交點(diǎn)分別為B和C,當(dāng)點(diǎn)B位于點(diǎn)C下方時(shí),求出n的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若一個(gè)函數(shù)當(dāng)自變量在不同范圍內(nèi)取值時(shí),函數(shù)表達(dá)式不同,我們稱這樣的函數(shù)為分段函數(shù).下面我們參照學(xué)習(xí)函數(shù)的過程與方法,探究分段函數(shù)的圖象與性質(zhì).列表:
x | … | 0 | 1 | 2 | 3 | … | |||||||||
y | … | 1 | 2 | 1 | 0 | 1 | 2 | … |
描點(diǎn):在平面直角坐標(biāo)系中,以自變量x的取值為橫坐標(biāo),以相應(yīng)的函數(shù)值y為縱坐標(biāo),描出相應(yīng)的點(diǎn),如圖所示.
(1)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,觀察描出的這些點(diǎn)的分布,作出函數(shù)圖象;
(2)研究函數(shù)并結(jié)合圖象與表格,回答下列問題:
①點(diǎn),,,在函數(shù)圖象上, , ;(填“>”,“=”或“<”)
②當(dāng)函數(shù)值時(shí),求自變量x的值;
③在直線的右側(cè)的函數(shù)圖象上有兩個(gè)不同的點(diǎn),,且,求的值;
④若直線與函數(shù)圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn),求a的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖:在△ABC中,CE、CF分別平分∠ACB與它的鄰補(bǔ)角∠ACD,AE⊥CE于E,AF⊥CF于F,直線EF分別交AB、AC于M、N.
(1)求證:四邊形AECF為矩形;
(2)試猜想MN與BC的關(guān)系,并證明你的猜想;
(3)如果四邊形AECF是菱形,試判斷△ABC的形狀,直接寫出結(jié)果,不用說明理由.
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