Question

【題目】直線y=﹣x+c與x軸交于點(diǎn)A（4，0），與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn)．

(1)求拋物線表達(dá)式；

(2)點(diǎn)P為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作垂直于x軸的直線分別交x軸和直線AB于M、N兩點(diǎn)，若P、M、N三點(diǎn)中恰有一點(diǎn)是其他兩點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)（三點(diǎn)重合除外），請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1)拋物線解析式為y=﹣+2；(2)滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣，）或（﹣2，﹣3）或（1，3）．

【解析】

（1）先把A點(diǎn)坐標(biāo)代入y=-x+c中求出c=2，從而得到一次函數(shù)解析式為y=-x+2，然后把A點(diǎn)坐標(biāo)代入y=-x2+bx+2中求出b即可得到拋物線解析式；
（2）設(shè)P（x，-x2+x+2），則N（x，-x+2），M（x，0），討論：當(dāng)x＞4時(shí)，MN=MP，則-（-x+2）=-x+2-（-x2+x+2）；當(dāng)0＜x＜4時(shí)，PN=MN，則-x2+x+2-（-x+2）=-x+2；當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，NP=PM，-x+2-（-x2+x+2）=-x2+x+2；當(dāng)x＜-1時(shí)，NM=PM，-x+2=-（-x2+x+2），然后分別解方程得到對(duì)應(yīng)P點(diǎn)坐標(biāo)．

(1)把A（4，0）代入y=﹣x+c得﹣2+c=0，解得c=2，

∴一次函數(shù)解析式為y=﹣x+2，

當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣x+2=2，則B（0，2），

把A（4，0）代入y=﹣+bx+2得﹣8+4b+2=0，解得b=，

∴拋物線解析式為y=﹣+x+2；

(2)設(shè)P（x，﹣+x+2，則N（x，﹣x+2），M（x，0），

當(dāng)x＞4時(shí)，MN=MP，則﹣（﹣x+2）=﹣x+2﹣（﹣+x+2），

整理得x2﹣5x+4=0，解得x1=1（舍去），x2=4（舍去），

當(dāng)0＜x＜4時(shí)，PN=MN，則﹣+x+2﹣（﹣x+2）=﹣x+2，

整理得x2﹣5x+4=0，解得x1=1，x2=4（舍去），此時(shí)P（1，3）；

當(dāng)﹣1＜x＜0時(shí)，NP=PM，﹣x+2﹣（﹣+x +2）=﹣+x +2

整理得2x2﹣7x﹣4=0，解得x1=﹣，x2=4（舍去），此時(shí)P（﹣， ）；

當(dāng)x＜﹣1時(shí)，NM=PM，﹣x+2=﹣（﹣+x +2），

整理得x2﹣2x﹣8=0，解得x1=﹣2，x2=4（舍去），此時(shí)P（﹣2，﹣3）；

綜上所述，滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣，）或（﹣2，﹣3）或（1，3）．