Question

【題目】如圖1，以邊長為8的正方形紙片ABCD的邊AB為直徑作⊙O，交對角線AC于點E．

（1）線段AE=　 ；

（2）如圖2，以點A為端點作∠DAM=30°，交CD于點M，沿AM將四邊形ABCM剪掉，使Rt△ADM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)（如圖3），設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜150°），旋轉(zhuǎn)過程中AD與⊙O交于點F．

①當(dāng)α=30°時，請求出線段AF的長；

②當(dāng)α=60°時，求出線段AF的長；判斷此時DM與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；

③當(dāng)α=　 　°時，DM與⊙O相切．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）①4，②相離，見解析，③90

【解析】

（1）連接BE，則可得出△AEB是等腰直角三角形，再由AB=8，可得出AE的長．

（2）①連接OA、OF，可判斷出△OAF是等邊三角形，從而可求出AF的長；②此時可得DAM=30°，根據(jù)AD=8可求出AF的長，也可判斷DM與⊙O的位置關(guān)系；③根據(jù)AD等于⊙O的直徑，可得出當(dāng)DM與⊙O相切時，點D在⊙O上，從而可得出α的度數(shù)．

解：（1）連接BE，

∵AC是正方形ABCD的對角線，

∴∠BAC=45°，

∴△AEB是等腰直角三角形，

又∵AB=8，

∴AE=4；

（2）連接OA、OF，

①

由題意得，∠NAD=30°，∠DAM=30°，

故可得∠OAM=30°，∠DAM=30°，

則∠OAF=60°，

又∵OA=OF，

∴△OAF是等邊三角形，

∵OA=4，

∴AF=OA=4；

②

連接B'F，此時∠NAD=60°，

∵AB'=8，∠DAM=30°，

∴AF=AB'cos∠DAM=8×=4；

此時DM與⊙O的位置關(guān)系是相離；

③

∵AD=8，直徑的長度相等，

∴當(dāng)DM與⊙O相切時，點D在⊙O上，

故此時可得α=∠NAD=90°．