【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,直線y=x+2與x軸交于點A,與y軸交于點C.拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是x=-且經(jīng)過A、C兩點,與x軸的另一交點為點B.

(1)①直接寫出點B的坐標;②求拋物線解析式.

(2)若點P為直線AC上方的拋物線上的一點,連接PA,PC.求△PAC的面積的最大值,并求出此時點P的坐標.

(3)拋物線上是否存在點M,過點M作MN垂直x軸于點N,使得以點A、M、N為頂點的三角形與△ABC相似?若存在,求出點M的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】(1) 點B的坐標為1,0).y=-x2-x+2.(2) △PAC的面積有最大值是4,此時P(-2,3);(3)存在M1(0,2),M2(-3,2),M3(2,-3),M4(5,-18),使得以點A、M、N為頂點的三角形與△ABC相似.

【解析】

試題分析:(1)①先求的直線y=x+2與x軸交點的坐標,然后利用拋物線的對稱性可求得點B的坐標;②設(shè)拋物線的解析式為y=y=a(x+4)(x-1),然后將點C的坐標代入即可求得a的值;

(2)設(shè)點P、Q的橫坐標為m,分別求得點P、Q的縱坐標,從而可得到線段PQ=-m2-2m,然后利用三角形的面積公式可求得S△PAC=×PQ×4,然后利用配方法可求得△PAC的面積的最大值以及此時m的值,從而可求得點P的坐標;

(3)首先可證明△ABC∽△ACO∽△CBO,然后分以下幾種情況分類討論即可:①當M點與C點重合,即M(0,2)時,△MAN∽△BAC;②根據(jù)拋物線的對稱性,當M(-3,2)時,△MAN∽△ABC; ④當點M在第四象限時,解題時,需要注意相似三角形的對應(yīng)關(guān)系.

試題解析:(1)①y=x+2當x=0時,y=2,當y=0時,x=-4,

∴C(0,2),A(-4,0),

由拋物線的對稱性可知:點A與點B關(guān)于x=-對稱,

∴點B的坐標為1,0).

②∵拋物線y=ax2+bx+c過A(-4,0),B(1,0),

∴可設(shè)拋物線解析式為y=a(x+4)(x-1),

又∵拋物線過點C(0,2),

∴2=-4a

∴a=-

∴y=-x2-x+2.

(2)設(shè)P(m,-x2-x+2).

過點P作PQ⊥x軸交AC于點Q,

∴Q(m, m+2),

∴PQ=-m2-m+2-(m+2)

=-m2-2m,

∵S△PAC=×PQ×4,

=2PQ=-m2-4m=-(m+2)2+4,

∴當m=-2時,△PAC的面積有最大值是4,

此時P(-2,3).

(3)在Rt△AOC中,tan∠CAO=在Rt△BOC中,tan∠BCO=,

∴∠CAO=∠BCO,

∵∠BCO+∠OBC=90°,

∴∠CAO+∠OBC=90°,

∴∠ACB=90°,

∴△ABC∽△ACO∽△CBO,

如下圖:

①當M點與C點重合,即M(0,2)時,△MAN∽△BAC;

②根據(jù)拋物線的對稱性,當M(-3,2)時,△MAN∽△ABC;

③當點M在第四象限時,設(shè)M(n,-n2-n+2),則N(n,0)

∴MN=n2+n-2,AN=n+4

時,MN=AN,即n2+n-2=(n+4)

整理得:n2+2n-8=0

解得:n1=-4(舍),n2=2

∴M(2,-3);

時,MN=2AN,即n2+n-2=2(n+4),

整理得:n2-n-20=0

解得:n1=-4(舍),n2=5,

∴M(5,-18).

綜上所述:存在M1(0,2),M2(-3,2),M3(2,-3),M4(5,-18),使得以點A、M、N為頂點的三角形與△ABC相似.

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