【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,AC=6.動點P從點A出發(fā),沿折線AC﹣CB運動,在邊AC上以每秒3個單位長度的速度運動,在邊BC上以每秒4個單位長度的速度運動,到點B停止,當(dāng)點P不與△ABC的頂點重合時,過點P作其所在直角邊的垂線交AB于點Q;以Q為直角頂點向PQ右側(cè)作Rt△PQD,且QD=PQ.設(shè)△PQD與△ABC重疊部分圖形的面積為S,點P運動的時間為t(s).
(1)當(dāng)點P在邊AC上時,求PQ的長(含t的代數(shù)式表示);
(2)點D落在邊BC上時,求t的值;
(3)求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式;
(4)設(shè)PD的中點為E,作直線CE.當(dāng)直線CE將△PQD的面積分成1:5兩部分時,直接寫出t的值.
【答案】(1)PQ=4t;(2)t=;(3)S=;(4)或.
【解析】
(1)由PQ∥BC,推出△APQ∽△ACB,可得 ,由此構(gòu)建關(guān)系式即可解決問題.
(2)當(dāng)點D落在BC上時,四邊形PCDQ是矩形,根據(jù)PC=DQ,構(gòu)建方程解決問題即可.
(3)分三種情形:①如圖3﹣1中,當(dāng)0<t≤時,重疊部分是△PQD.②如圖3﹣2中,當(dāng)<t<2時,重疊部分是四邊形PQMN.③如圖3﹣3中,當(dāng)2<t<4時,重疊部分是△PQN,分別求解即可.
(4)分兩種情形:①如圖4﹣1中,設(shè)直線CE交DQ于N,連接OE.當(dāng)QN=2DN時,直線CE將△PQD的面積分成1:5兩部分.②如圖4﹣2中,如圖4﹣2中,設(shè)直線CE交PQ于N,連接OE,延長QD交CE于M.當(dāng)QN=2PN時,直線CE將△PQD的面積分成1:5兩部分,分別求解即可.
解:(1)如圖1中,當(dāng)點P在AC上時,
在Rt△ABC中,∵∠C=90°,AB=10,AC=6,
∴BC==8.
∵PQ∥BC,∴△APQ∽△ACB,
∴,
∴,
∴PQ=4t.
(2)當(dāng)點D落在BC上時,四邊形PCDQ是矩形,∴PC=DQ.
∵PQ=4t,DQ=PQ,
∴DQ=6t,
∴6﹣3t=6t,
解得:t=.
(3)①如圖3﹣1中,當(dāng)0<t≤時,重疊部分是△PQD.
S=PQDQ=×4t×6t=12t2.
②如圖3﹣2中,當(dāng)<t<2時,重疊部分是四邊形PQMN,
S=S△PQD﹣S△DMN=12t2﹣×(9t﹣6)×(9t﹣6)=﹣15t2+36t﹣12.
③如圖3﹣3中,當(dāng)2<t<4時,重疊部分是△PQN,
由題意PC=4(t﹣2),PB=BC﹣PC=16﹣4t=4(4﹣t),
∴PQ=3(4﹣t),DQ=(4﹣t).
∵PB∥DQ,∴PN:DN=PB:DQ=8:9,
∴S=S△PQD=3(4﹣t)(4﹣t)=(4﹣t)2.
綜上所述:.
(4)①如圖4﹣1中,設(shè)直線CE交DQ于N,連接OE.
當(dāng)QN=2DN時,直線CE將△PQD的面積分成1:5兩部分.
∵PE=DE,PC∥DN,
∴,∴PC=DN,
∴QN=2PC,DQ=3PC,
∴6t=3(6﹣3t),
∴t=.
②如圖4﹣2中,如圖4﹣2中,設(shè)直線CE交PQ于N,連接OE,延長QD交CE于M.
當(dāng)QN=2PN時,直線CE將△PQD的面積分成1:5兩部分.
∵PC∥QM,PE=ED,
∴, ,
∴PC=DM=4(t﹣2),QM=2PC,
∴(4﹣t)+4(t﹣2)=2×4(t﹣2),
解得:t=,
綜上所述:滿足條件的t的值為或.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖在直角坐標(biāo)系中△ABC的頂點A、B、C三點坐標(biāo)為A(7,1),B(8,2),C(9,0).
(1)請在圖中畫出△ABC的一個以點P(12,0)為位似中心,相似比為3的位似圖形△A'B'C'(要求與△ABC在P點同一側(cè));
(2)直接寫出A'點的坐標(biāo);
(3)直接寫出△A'B'C'的周長.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】通過學(xué)習(xí)銳角三角比,我們知道在直角三角形中,一個銳角的大小與兩條邊長的比值是一一對應(yīng)的,因此,兩條邊長的比值與角的大小之間可以相互轉(zhuǎn)化。類似的,可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯(lián)系。我們定義:等腰三角形中底邊與腰的比叫做底角的鄰對(can).
如圖(1)在△中,,底角的鄰對記作,這時,容易知道一個角的大小與這個角的鄰對值也是一一對應(yīng)的.根據(jù)上述角的鄰對的定義解下列問題:
(1)= ;
(2)如圖(2),在△中,,,,求△的周長
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】今年,我國海關(guān)總署嚴(yán)厲打擊“洋垃圾”違法行動,堅決把“洋垃圾”拒于國門之外如圖,某天我國一艘海監(jiān)船巡航到港口正西方的處時,發(fā)現(xiàn)在的北偏東方向,相距海里處的點有一可疑船只正沿方向行駛,點在港口的北偏東方向上,海監(jiān)船向港口發(fā)出指令,執(zhí)法船立即從港口沿方向駛出,在處成功攔截可疑船只,此時點與點的距離為海里.
(1)求的度數(shù)與點到直線的距離;
(2)執(zhí)法船從到航行了多少海里?(結(jié)果保留根號)
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(教材呈現(xiàn))
下圖是華師版九年級上冊數(shù)學(xué)教材第79頁的部分內(nèi)容.
請根據(jù)教材內(nèi)容,結(jié)合圖①,寫出完整的解題過程.
(結(jié)論應(yīng)用)
(1)在圖①中,若AB=2,∠AOD=120°,則四邊形EFGH的面積為______.
(2)如圖②,在菱形ABCD中,∠BAD=120°,O是其內(nèi)任意一點,連接O與菱形ABCD各頂點,四邊形EFGH的頂點E、F、G、H分別在AO、BO、CO、DO上,EO=2AE,EF∥AB∥GH,且EF=GH,若△EFO與△GHO的面積和為,則菱形ABCD的周長為______.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖, 已知∠ABC=90°,點P為射線BC上任意一點(點P與點B不重合),分別以AB、AP為邊在∠ABC的內(nèi)部作等邊△ABE和△APQ,連接QE并延長交BP于點F. 試說明:(1)△ABP≌△AEQ;(2)EF=BF
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校組織七年級學(xué)生進(jìn)行“垃圾分類”知識測試,現(xiàn)隨機(jī)抽取部分學(xué)生的成績進(jìn)行統(tǒng)計,并繪制如下頻數(shù)分布表以及頻數(shù)分布直方圖.
分?jǐn)?shù)檔 | 分?jǐn)?shù)段/分 | 頻數(shù) | 頻率 |
A | 90<x≤100 | a | 0.12 |
B | 80<x≤90 | b | 0.18 |
C | 70<x≤80 | 20 | c |
D | 60<x≤70 | 15 | d |
請根據(jù)以上信息,解答下列問題:
(1)已知A,B檔的學(xué)生人數(shù)之和等于D檔學(xué)生人數(shù),求被抽取的學(xué)生人數(shù),并把頻數(shù)分布直方圖補充完整.
(2)該校七年級共有200名學(xué)生參加測試,請估計七年級成績在C檔的學(xué)生人數(shù).
(3)你能確定被抽取的這些學(xué)生的成績的眾數(shù)在哪一檔嗎?請說明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,動點P從點B出發(fā),在BA邊上以每秒5cm的速度向點A勻速運動,同時動點Q從點C出發(fā),在CB邊上以每秒4cm的速度向點B勻速運動,運動時間為t秒(0<t<2),連接PQ.
(1)若△BPQ與△ABC相似,求t的值;
(2)試探究t為何值時,△BPQ的面積是cm2;
(3)直接寫出t為何值時,△BPQ是等腰三角形;
(4)連接AQ,CP,若AQ⊥CP,直接寫出t的值.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線經(jīng)過點,交y 軸于點C:
(1)求拋物線的頂點坐標(biāo).
(2)點為拋物線上一點,是否存在點使,若存在請直接給出點坐標(biāo);若不存在請說明理由.
(3)將直線繞點順時針旋轉(zhuǎn),與拋物線交于另一點,求直線的解析式.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com