Question

如圖，A、B分別是x軸和y軸上的點，以AB為直徑作⊙M，過M點作AB的垂線交⊙M于點C，C在雙曲線y=
（x＜0）上，若OA-OB=4，則k的值是    ．

Answer 1

【答案】分析：作CD⊥x軸于D，CE⊥y軸于E，連結(jié)AC、BC，由AB為⊙M的直徑，根據(jù)圓周角定理的推論得到∠ACB=90°，而CM⊥AB，則△ACB為等腰直角三角形，可得到CA=CB，AB=BC，再根據(jù)圓周角定理得到∠CAO=∠CBO，易證得Rt△ACD≌Rt△BCE，則CD=CE，于是可設(shè)C點坐標(biāo)為（-t，t），A點坐標(biāo)為（a，0），B點坐標(biāo)為（0，b），由OA-OB=4，則a=b-4，得到a²=（b-4）²=b²-8b+16①，再利用勾股定理有AB²=a²+b²，BC²=CE²+BE²，則（a²+b²）=t²+（t-b）²②，由①②得t²-4-bt+2b=0，分解變形后可解得t=2，然后把C點坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式可求出k的值．
解答：解：作CD⊥x軸于D，CE⊥y軸于E，連結(jié)AC、BC，如圖，
∵AB為⊙M的直徑，
∴∠ACB=90°，
又∵CM⊥AB，
∴△ACB為等腰直角三角形，
∴CA=CB，AB=BC，
∵∠CAO=∠CBO，
∵在△ACD和△BCE中
，
∴△ACD≌△BCE（AAS），
∴CD=CE，
設(shè)C點坐標(biāo)為（-t，t），A點坐標(biāo)為（a，0），B點坐標(biāo)為（0，b），
∵OA-OB=4，即-a-（-b）=4，
∴a=b-4，
∴a²=（b-4）²=b²-8b+16①，
∵AB²=a²+b²，BC²=CE²+BE²，
∴（a²+b²）=t²+（t-b）²②，
由①②得t²-4-bt+2b=0，
∴（t+2）（t-2）-b（t-2）=0，
∴（t-2）（t+2-b）=0，
而t+2-b≠0，
∴t-2=0，解得t=2，
∴C點坐標(biāo)為（-2，2），
把C（-2，2）代入y=得k=-2×2=-4．
故答案為-4．
點評：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：點在反比例函數(shù)圖象上，則點的坐標(biāo)滿足其解析式；熟練掌握圓周角定理；會運用三角形全等和等腰直角三角形的性質(zhì)得到線段之間的關(guān)系，利用勾股定理建立等量關(guān)系．