【題目】如圖,⊙O是等邊△ABC的外接圓,M是BC延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn),連接AM交⊙O于點(diǎn)D,延長(zhǎng)BD至點(diǎn)N,使得BN=AM,連接CN,MN.
(1)判斷△CMN的形狀,并證明你的結(jié)論;
(2)求證:CN是⊙O的切線(xiàn);
(3)若等邊△ABC的邊長(zhǎng)是2,求ADAM的值.
【答案】
(1)解:△CMN為等邊三角形.理由如下:
∵△ABC為等邊三角形,
∴CB=CA,∠ABC=∠ACB=60°,
在△BCN和△ACM中
,
∴△BCN≌△ACM,
∴CN=CM,∠BCN=∠ACM,
∴∠ACB+∠ACN=∠ACN+∠MCN,
∴∠MCN=∠ACB=60°,
∴△CMN為等邊三角形
(2)證明:連接OC,如圖,
∵CA=CB,
∴ = ,
∴OC⊥AB,
∵∠ABC=∠MCN=60°,
∴AB∥CN,
∴OC⊥CN,
∴CN是⊙O的切線(xiàn)
(3)解:連接CD,如圖,
∵∠ADC+∠ABC=180°,∠ACM+∠ACB=180°,
而∠ABC=∠ACB=60°,
∴∠ADC=∠ACM,
而∠DAC=∠CAM,
∴△ACD∽△AMC,
∴AC:AD=AM:AC,
∴ADAM=AC2,
∵等邊△ABC的邊長(zhǎng)是2,
∴AC=2,
∴ADDM=4.
【解析】(1)利用等邊三角形的性質(zhì)得到CB=CA,∠ABC=∠ACB=60°,再證明△BCN≌△ACM得到CN=CM,∠BCN=∠ACM,則∠MCN=∠ACB=60°,于是可判斷△CMN為等邊三角形;(2)連接OC,如圖,利用CA=CB得到 = ,則根據(jù)垂徑定理的推論得到OC⊥AB,再證明AB∥CN,則OC⊥CN,然后根據(jù)切線(xiàn)的判定方法可判斷CN是⊙O的切線(xiàn);(3)連接CD,如圖,證明△ACD∽△AMC,利用相似比得到ADAM=AC2 , 然后利用等邊△ABC的邊長(zhǎng)是2可得到ADDM的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,直線(xiàn)y=x+1與y軸交于點(diǎn)A1 , 依次作正方形A1B1C1O、正方形A2B2C2C1、…、正方形AnBnCnCn﹣1 , 使得點(diǎn)A1、A2、…,An在直線(xiàn)x+1上,點(diǎn)C1、C2、…,Cn在x軸上,則點(diǎn)Bn的坐標(biāo)是( )
A.(2n﹣1,2n﹣1)
B.(2n﹣1+1,2n﹣1)
C.(2n﹣1,2n﹣1)
D.(2n﹣1,n)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知點(diǎn)O是△ABC的兩條角平分線(xiàn)的交點(diǎn),
(1)若∠A=30°,則∠BOC的大小是 ;
(2)若∠A=60°,則∠BOC的大小是 ;
(3)若∠A=n°,則∠BOC的大小是多少?試用學(xué)過(guò)的知識(shí)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖長(zhǎng)方形MNPQ是菜市民健身廣場(chǎng)的平面示意圖,它是由6個(gè)正方形拼成的長(zhǎng)方形,中間最小的正方形A的邊長(zhǎng)是1,觀(guān)察圖形特點(diǎn)可知長(zhǎng)方形相對(duì)的兩邊是相等的(如圖中MN=PQ).正方形四邊相等.請(qǐng)根據(jù)這個(gè)等量關(guān)系,試計(jì)算長(zhǎng)方形MNPQ的面積,結(jié)果為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,DE是AB的垂直平分線(xiàn),交BC于點(diǎn)D,交AB于點(diǎn)E,已知AE=1 cm,△ACD的周長(zhǎng)為12 cm,則△ABC的周長(zhǎng)是( )
A. 13 cm B. 14 cm C. 15 cm D. 16 cm
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AB∥CD,以點(diǎn)A為圓心,小于A(yíng)C長(zhǎng)為半徑作圓弧,分別交AB,AC于E,F(xiàn)兩點(diǎn),再分別以E,F(xiàn)為圓心,大于EF長(zhǎng)為半徑作圓弧,兩條圓弧交于點(diǎn)P,作射線(xiàn)AP,交CD于點(diǎn)M。
(1)若∠ACD=114°,求∠MAB的度數(shù);
(2)若CN⊥AM,垂足為N,求證:△ACN≌△MCN。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】八年級(jí)(1)班有48名學(xué)生,春游前,班長(zhǎng)把全班學(xué)生對(duì)春游地點(diǎn)的意向繪制成了扇形統(tǒng)計(jì)圖,其中“想去動(dòng)物園的學(xué)生數(shù)”的扇形圓心角為60°,則下列說(shuō)法正確的是( )
A. 想去動(dòng)物園的學(xué)生占全班學(xué)生的60% B. 想去動(dòng)物園的學(xué)生有12人
C. 想去動(dòng)物園的學(xué)生肯定最多 D. 想去動(dòng)物園的學(xué)生占全班學(xué)生的
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線(xiàn)y1=ax2+bx(a≠0),與x軸正半軸交于點(diǎn)A1(2,0),頂點(diǎn)為P1 , △OP1A1為正三角形,現(xiàn)將拋物線(xiàn)y1=ax2+bx(a≠0)沿射線(xiàn)OP1平移,把過(guò)點(diǎn)A1時(shí)的拋物線(xiàn)記為拋物線(xiàn)y2 , 記拋物線(xiàn)y2與x軸的另一交點(diǎn)為A2;把拋物線(xiàn)y2繼續(xù)沿射線(xiàn)OP1平移,把過(guò)點(diǎn)A2時(shí)的拋物線(xiàn)記為拋物線(xiàn)y3 , 記拋物線(xiàn)y3與x軸的另一交點(diǎn)為A3;….;把拋物線(xiàn)y2015繼續(xù)沿射線(xiàn)OP1平移,把過(guò)點(diǎn)A2015時(shí)的拋物線(xiàn)記為拋物線(xiàn)y2016 , 記拋物線(xiàn)y2016與x軸的另一交點(diǎn)為A2016 , 頂點(diǎn)為P2016 . 若這2016條拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)都在射線(xiàn)OP1上.
(1)①求△OP1A1的面積;②求a,b的值;
(2)求拋物線(xiàn)y2的解析式;
(3)請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)A2016以及點(diǎn)P2016坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD是一張邊長(zhǎng)為12公分的皮革.皮雕師傅想在此皮革兩相鄰的角落分別切下△PDQ與△PCR后得到一個(gè)五邊形PQABR,其中PD=2DQ,PC=RC,且P、Q、
R三點(diǎn)分別在CD、AD、BC上,如圖所示.
(1)當(dāng)皮雕師傅切下△PDQ時(shí),若DQ長(zhǎng)度為x公分,請(qǐng)你以x表示此時(shí)△PDQ的面積.
(2)承(1),當(dāng)x的值為多少時(shí),五邊形PQABR的面積最大?請(qǐng)完整說(shuō)明你的理由并求出答案.
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