Question

如圖，在平面直角坐標系中，已知點A、B、C的坐標分別為A（-2，0），B（1，0），
C（0，-2）．
（1）求經過A、B、C三點的拋物線的解析式和頂點D的坐標．
（2）在y軸上取一點P，使PA+PD最小，求出該最小值．
（3）在第三象限中，是否存在點M，使AC為等腰△ACM的一邊，且底角為30°？如果存在，請說出點M的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用待定系數法求二次函數解析式求解即可，根據拋物線的頂點坐標公式代入數據進行計算即可求出頂點D的坐標；
（2）根據最短路線問題，先找出點A關于y軸的對稱點A′，然后連接A′D交y軸于點P，則A′D=PA+PD，設對稱軸與x軸相交于點E，根據頂點坐標求出點E的坐標，再求出A′E與ED的長度，然后利用勾股定理列式求出A′D的長度，從而得解；
（3）連接AC，利用解直角三角形可以求出∠ACO=30°，過點A作直線l∥y軸，可得點M一定在直線l上，然后分AC是腰長與底邊長兩種情況求出AM的長度，再根據點M在第三象限寫出點M的坐標即可．
解答：解：（1）設拋物線解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），
∵拋物線經過A（-2，0），B（1，0），C（0，-2）三點，
∴，
解得，
∴拋物線解析式為y=x²+x-2，
-=-=-，
==-，
所以，頂點D的坐標為（-，-）；

（2）設點A關于y軸的對稱點為A′，
∵A（-2，0），
∴A′（2，0），
連接A′D交y軸于點P，設拋物線的對稱軸與x軸交于點E，
∵頂點D的坐標為（-，-），
∴點E的坐標為（-，0），
∴|A′E|=|2-（-）|=，|ED|=，
∴PA+PD=PA′+PD=A′D===，
所以，PA+PD的最小值為；

（3）存在．
理由如下：連接AC，在Rt△AOC中，tan∠ACO===，
∴∠ACO=30°，
過點A作直線l∥y軸，已知點M在第三象限，可得點M在直線l上，
①以AC為腰時，根據等腰三角形三線合一的性質，AM=2CO=2×2=4，
所以，點M的坐標為（-2，-4），
②以AC為底邊時，根據勾股定理可得AC===4，
AM=（AC）÷cos30°=2÷=2×=，
所以，點M的坐標為（-2，-），
綜上所述，存在點M的坐標為（-2，-4），（-2，-）．
點評：本題是對二次函數的綜合考查，主要有待定系數法求二次函數解析式，頂點坐標公式，利用軸對稱確定最短距離，以及等腰三角形的性質，綜合性較強，（3）根據數據恰好求出∠ACO=30°設計巧妙，注意分AC是腰長與底邊長兩種情況討論求解．