【題目】如圖1,在RtACB中,ACB=90°,AC=3,BC=4,有一過點(diǎn)C的動圓O與斜邊AB相切于動點(diǎn)P,連接CP.

(1)當(dāng)O與直角邊AC相切時(shí),如圖2所示,求此時(shí)O的半徑r的長;

(2)隨著切點(diǎn)P的位置不同,弦CP的長也會發(fā)生變化,試求出弦CP的長的取值范圍.

(3)當(dāng)切點(diǎn)P在何處時(shí),O的半徑r有最大值?試求出這個(gè)最大值.

【答案】(1) r=;(2) PC4;(3)

【解析】

試題分析:(1)先根據(jù)勾股定理求出AB的長,再由切線的性質(zhì)求出PB的長,過P作PQBC于Q,過O作ORPC于R,根據(jù)PQAC得出PC的長,再由COR∽△CPQ即可得出r的值;

(2)根據(jù)最短PC為AB邊上的高,最大PC=BC=4即可得出結(jié)論;

(3)當(dāng)P與B重合時(shí),圓最大.這時(shí),O在BD的垂直平分線上,過O作ODBC于D,由BD=BC=2,由于AB是切線可知ABO=90°,ABD+OBD=BOD+OBD=90°,故可得出ABC=BOD,根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)論.

試題解析:(1)如圖1,

在RtACB中,ACB=90°,AC=3,BC=4,

AB=

AC、AP都是圓的,圓心在BC上,AP=AC=3,

PB=2,

過P作PQBC于Q,過O作ORPC于R,

PQAC,

,

PQ=,BQ=,

CQ=BC-BQ=,

PC=

點(diǎn)O是CE的中點(diǎn),

CR=PC=

∴∠PCE=PCE,CRO=CQP,

∴△COR∽△CPQ,

,即,解得r=;

(2)最短PC為AB邊上的高,即PC==,最大PC=BC=4,

PC4;

(3)如圖2,當(dāng)P與B重合時(shí),圓最大.O在BD的垂直平分線上,過O作ODBC于D,由BD=BC=2,

AB是切線,

∴∠ABO=90°,

∴∠ABD+OBD=BOD+OBD=90°

∴∠ABC=BOD,

=sinBOD=sinABC=

OB=,即半徑最大值為

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①△ABE≌△DBC②∠DMA=60°;③△BPQ為等邊三角形;MB平分AMC,

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