Question

【題目】在中，，點是的中點，點是邊上一點，，交的延長線于點，，交邊于點，過點作，垂足為點，分別交于點．

（1）求證：；

（2）設，求關于的函數關系式及其定義域；

（3）當是以為腰的等腰三角形時，求線段的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）或．

【解析】

（1）只要證明△OBD∽△NED，即可解決問題；

（2）由tan∠DBC＝，又因為，可得，由此即可解決問題；

（3）分兩種情形：①如圖21中，當DE＝DF時，②如圖22中，當DE＝EF時，分別求解即可解決問題．

（1）證明：如圖1中，

∵OD⊥DF，BD⊥DE，

∴∠ODF＝∠BDE＝90，

∴∠ODB＝∠NDE，

∵EG⊥AB，

∴∠BGM＝∠MDE＝90，

∵∠BMG＝∠EMD，

∴OBD＝∠DEN，

∴△OBD∽△NED，

∴．

（2）解：如圖1中，∵∠BCD＝∠BDE＝90，

∴tan∠DBC＝，

∵，

∴，

在Rt△ABC中，AB＝＝＝5，

∴OB＝OA＝2.5，

∴，

∴y＝x，

∵點是的中點，，交邊于點，，

∴0＜CD≤2，即定義域為：0＜x≤2；

（3）解：①如圖21中，當DE＝DF時，作OK⊥AC于K，設CD=x．

∵∠OKD＝∠DCF＝∠ODF＝90，

∴∠ODK＋∠KOD＝90，∠ODK＋∠CDF＝90，

∴∠DOK＝∠CDF，

∴△OKD∽△DCF，

∴，

∴，

∴CF＝x（2x），

∵DF＝DE，DC⊥EF，

∴∠CDE＝∠CDF，

∵∠CDE＋∠CDB＝90，∠CBD＋∠CDB＝90，

∴∠CDE＝∠CBD＝∠CDF，

∵∠DCF＝∠DCB＝90，

∴△DCF∽△BCD，

∴，

∴CD2＝CFCB，

∴x2＝2x（2x），

解得x＝或0（舍棄）

∴CD＝；

②如圖22中，當DE＝EF時，設CD=x，

∵ED＝EF，

∴∠EDF＝∠EFD，

∴∠EDC＋∠CDF＝∠DBC＋∠BDF，

∵∠EDC＝∠DBC，

∴∠CDF＝∠BDF，

∵∠CDF＋∠ADO＝90，∠BDF＋∠BDO＝90，

∴∠ADO＝∠BDO，

∵AO＝OB，

作OM⊥AD于M，ON⊥BD于N，則OM＝ON，

∵OA＝OB，∠AMO＝∠ONB＝90，

∴Rt△AOM≌△BON（HL），

∴∠A＝∠ABD，

∴DA＝DB，

∴DA＝DB＝4x，

在Rt△BCD中，∵BD2＝CD2＋BC2，

∴（4x）2＝x2＋32，

∴x＝，

∴CD＝．

綜上所述，CD的長為或．