Question

【題目】圖①是一張∠AOB＝45°的紙片折疊后的圖形，P、Q分別是邊OA、OB上的點(diǎn)，且OP＝2 cm．將∠AOB沿PQ折疊，點(diǎn)O落在紙片所在平面內(nèi)的C處．

（1）①當(dāng)PC∥QB時(shí)，OQ＝ cm；

②在OB上找一點(diǎn)Q，使PC⊥QB（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）；

（2）當(dāng)折疊后重疊部分為等腰三角形時(shí)，求OQ的長．

Answer 1

【答案】（1）2；見解析（2）當(dāng)點(diǎn)C在∠AOB的內(nèi)部或一邊上時(shí)，則重疊部分即為△CPQ

【解析】分析：（1）①證明四邊形，即可得OQ=OP=2cm；②分點(diǎn)C、P在BQ同側(cè)和異側(cè)兩種情況作圖即可；（3）當(dāng)折疊后重疊部分為等腰三角形時(shí)，符合條件的點(diǎn)Q共有5個(gè)；點(diǎn)C在∠AOB的內(nèi)部或一邊上時(shí)，由折疊的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理以及解直角三角形即可求出OQ的長；點(diǎn)C在∠AOB的外部時(shí)，同理求出OQ的長即可．

詳解：

（1）①當(dāng)PC∥QB時(shí)，∠O=∠CPA，

由折疊的性質(zhì)得：∠C=∠O，OP=CP，

∴∠CPA=∠C，

∴OP∥QC，

∴四邊形OPCQ是平行四邊形，

∴四邊形OPCQ是菱形，

∴OQ=OP=2cm；

故答案為：2cm；

② 分點(diǎn)C、P在BQ同側(cè)和異側(cè)兩種情況，畫對一種就給全分；

（2）當(dāng)點(diǎn)C在∠AOB的內(nèi)部或一邊上時(shí)，則重疊部分即為△CPQ．

因?yàn)椤鰿PQ是由△OPQ折疊得到，所以當(dāng)△OPQ為等腰三角形時(shí)，重疊部分必為等腰三角形．

如圖1、2、3三種情況：

當(dāng)點(diǎn)C在∠AOB的外部時(shí)，

當(dāng)點(diǎn)C在射線OB的上方時(shí)（如圖4）， 當(dāng)點(diǎn)C在射線OA的下方時(shí)（如圖5），

OQ＝－ (cm)

OQ＝＋ (cm)