【題目】如圖,邊長為1的正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O.有直角∠MPN,使直角頂點(diǎn)P與點(diǎn)O重合,直角邊PM、PN分別與OA、OB重合,然后逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠MPN,旋轉(zhuǎn)角為θ(0°<θ<90°),PM、PN分別交AB、BC于E、F兩點(diǎn),連接EF交OB于點(diǎn)G.
(1)求四邊形OEBF的面積;
(2)求證:OGBD=EF2;
(3)在旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)△BEF與△COF的面積之和最大時(shí),求AE的長.
【答案】(1);(2)詳見解析;(3)AE=.
【解析】
(1)由四邊形ABCD是正方形,直角∠MPN,易證得△BOE≌△COF(ASA),則可證得S四邊形OEBF=S△BOC=S正方形ABCD;
(2)易證得△OEG∽△OBE,然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例,證得OGOB=OE2,再利用OB與BD的關(guān)系,OE與EF的關(guān)系,即可證得結(jié)論;
(3)首先設(shè)AE=x,則BE=CF=1﹣x,BF=x,繼而表示出△BEF與△COF的面積之和,然后利用二次函數(shù)的最值問題,求得AE的長.
(1)∵四邊形ABCD是正方形,
∴OB=OC,∠OBE=∠OCF=45°,∠BOC=90°,
∴∠BOF+∠COF=90°,
∵∠EOF=90°,
∴∠BOF+∠COE=90°,
∴∠BOE=∠COF,
在△BOE和△COF中,
∴△BOE≌△COF(ASA),
∴S四邊形OEBF=S△BOE+S△BOE=S△BOE+S△COF=S△BOC=S正方形ABCD
(2)證明:∵∠EOG=∠BOE,∠OEG=∠OBE=45°,
∴△OEG∽△OBE,
∴OE:OB=OG:OE,
∴OGOB=OE2,
∵
∴OGBD=EF2;
(3)如圖,過點(diǎn)O作OH⊥BC,
∵BC=1,
∴
設(shè)AE=x,則BE=CF=1﹣x,BF=x,
∴S△BEF+S△COF=BEBF+CFOH
∵
∴當(dāng)時(shí),S△BEF+S△COF最大;
即在旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)△BEF與△COF的面積之和最大時(shí),
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知點(diǎn)C(1,0),直線y=-x+7與兩坐標(biāo)軸分別交于A,B兩點(diǎn),D,E分別是AB, OA上的動點(diǎn),則△CDE周長的最小值是_____________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)的經(jīng)典著作,書中有一個(gè)問題:“今有黃金九枚,白銀一十一枚,稱之重適等.交易其一,金輕十三兩.問金、銀一枚各重幾何?”.意思是:甲袋中裝有黃金9枚(每枚黃金重量相同),乙袋中裝有白銀11枚(每枚白銀重量相同),稱重兩袋相等.兩袋互相交換1枚后,甲袋比乙袋輕了13兩(袋子重量忽略不計(jì)).問黃金、白銀每枚各重多少兩?設(shè)每枚黃金重x兩,每枚白銀重y兩,根據(jù)題意得( )
A.
B.
C.
D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若一個(gè)正整數(shù)能表示成(是正整數(shù),且)的形式,則稱這個(gè)數(shù)為“明禮崇德數(shù)”,與是的一個(gè)平方差分解. 例如:因?yàn)?/span>,所以5是“明禮崇德數(shù)”,3與2是5的平方差分解;再如:(是正整數(shù)),所以也是“明禮崇德數(shù)”,與是的一個(gè)平方差分解.
(1)判斷:9_______“明禮崇德數(shù)”(填“是”或“不是”);
(2)已知(是正整數(shù),是常數(shù),且),要使是“明禮崇德數(shù)”,試求出符合條件的一個(gè)值,并說明理由;
(3)對于一個(gè)三位數(shù),如果滿足十位數(shù)字是7,且個(gè)位數(shù)字比百位數(shù)字大7,稱這個(gè)三位數(shù)為“七喜數(shù)”.若既是“七喜數(shù)”,又是“明禮崇德數(shù)”,請求出的所有平方差分解.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中邊AB的垂直平分線分別交BC,AB于點(diǎn)D,E,AE=3cm,△ADC的周長為9cm,則△ABC的周長是( )
A. 10cm B. 12cm C. 15cm D. 17cm
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,的半徑為,點(diǎn)、、、在上,且四邊形是矩形,點(diǎn)是劣弧上一動點(diǎn),、分別與相交于點(diǎn)、點(diǎn).當(dāng)且時(shí),的長度為( )
A. B. C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】從圖中的二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象中,觀察得出了下面的五條信息:
①b>0 ②c=0;③函數(shù)的最小值為﹣3;④a﹣b+c>0;⑤當(dāng)x1<x2<2時(shí),y1>y2.
(1)你認(rèn)為其中正確的有哪幾個(gè)?(寫出編號)
(2)根據(jù)正確的條件請求出函數(shù)解析式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,⊙O是△ABC的外接圓,AE平分∠BAC交⊙O于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)D,過點(diǎn)E做直線l∥BC.
(1)判斷直線l與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)若∠ABC的平分線BF交AD于點(diǎn)F,求證:BE=EF;
(3)在(2)的條件下,若DE=4,DF=3,求AF的長.
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