Question

如圖①，為⊙的直徑，與⊙相切于點(diǎn),與⊙相切于點(diǎn)，點(diǎn)為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CE=CB．

 

(1)求證：為⊙的切線；

(2)如圖②，連接AE,AE的延長(zhǎng)線與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G．若，求線段BC和EG的長(zhǎng)．

 

Answer 1

【答案】

（1）連接OE、OC，先根據(jù)“SSS”證得△OBC≌△OEC，即得∠OBC=∠OEC，再結(jié)合DE為⊙O的切線即可證得結(jié)論；（2），

【解析】

試題分析：（1）連接OE、OC，先根據(jù)“SSS”證得△OBC≌△OEC，即得∠OBC=∠OEC，再結(jié)合DE為⊙O的切線即可證得結(jié)論；

（2）過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，先根據(jù)切線的性質(zhì)可得DA=DE，CE=CB，設(shè)BC為，則CF=x-2，DC=x+2，在Rt△DFC中根據(jù)勾股定理即可列方程求得x的值，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠DAE=∠EGC，再根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠DAE=∠AED，即可得到∠ECG=∠CEG，從而可以求得BG的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理即可AG的長(zhǎng)，然后證得△ADE∽△GCE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求得結(jié)果.

（1）連接OE、OC

∵CB=CE，OB=OE，OC=OC

∴△OBC≌△OEC

∴∠OBC=∠OEC

又∵DE與⊙O相切于點(diǎn)

∴∠OEC=90°

∴∠OBC=90°

∴BC為⊙的切線；

（2）過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，

∵AD、DC、BG分別切⊙O于點(diǎn)A、E、B

∴DA=DE，CE="CB"

設(shè)BC為，則CF=x-2，DC=x+2

在Rt△DFC中，

解得 

∵AD∥BG

∴∠DAE=∠EGC          

∵DA=DE

∴∠DAE=∠AED         

∵∠AED=∠CEG   

∴∠ECG=∠CEG

∴CG=CE=CB=

∴BG=5

∴ 

∵∠DAE=∠EGC，∠AED=∠CEG

∴△ADE∽△GCE

∴，即，解得.

考點(diǎn)：切線的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)

點(diǎn)評(píng)：在證明切線的問題時(shí)，一般先連接切點(diǎn)與圓心，再證明垂直即可.