Question

如圖，AB為⊙O的直徑，過點B作⊙O的切線BC，OC交⊙O于點E，AE的延長線交BC于點D．
（1）求證：CE²=CD•CB；
（2）若AB=BC=2cm，求CE和CD的長．

Answer 1

分析：（1）要證CE²=CD•CB，結合題意，只需證明△CED∽△CBE即可，故連接BE，利用弦切角的知識即可得證；
（2）在Rt三△OBC中，利用勾股定理即可得出CE的長，由（1）知，CE²=CD•CB，代入CE即可得出CD的長．

解答：證明：（1）連接BE
∵BC為⊙O的切線
∴∠ABC=90°
∵AB為⊙O的直徑
∴∠AEB=90°
∴∠DBE+∠OBE=90°，∠AEO+∠OEB=90°
∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB∴∠DBE=∠AEO
∵∠AEO=∠CED
∴∠CED=∠CBE，∵∠C=∠C
∴△CED∽△CBE
∴

CE

CB

=

CD

CE

∴CE²=CD•CB（5分）．

（2）∵OB=1cm，BC=2cm
∴OC=

5

cm
∴CE=OC-OE=（

5

-1）cm
由（1）得：CE²=CD•CB
∴（

5

-1）²=2CD
∴CD=（3-

5

）cm（10分）．

點評：本題主要考查了切線的性質及其應用，同時考查了相似三角形的判定和解直角三角形等知識點，運用切線的性質來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．