如圖,AB為半圓的直徑,C是半圓弧上一點,正方形DEFG的一邊DG在直徑AB上,另一邊DE過△ABC的內(nèi)切圓圓心O,且點E在半圓弧上.①若正方形的頂點F也在半圓弧上,則半圓的半徑與正方形邊長的比是
5
:2
5
:2
;②若半圓的直徑AB=21,△ABC的內(nèi)切圓半徑r=4,則正方形DEFG的面積為
100
100
分析:①根據(jù)圓和正方形的對稱性可知:GH=
1
2
DG=
1
2
GF,在直角三角形FGH中,利用勾股定理可得HF=
5
a
,從而用含a的代數(shù)式表示半圓的半徑為
5
a,正方形邊長為2a,所以可求得半圓的半徑與正方形邊長的比;
②連接EB、AE,OH、OI,可得OHCI是正方形,且邊長是4,可設(shè)BD=x,AD=y,則BD=BH=x,AD=AI=y,分別利用直角三角形ABC和直角三角形AEB中的勾股定理和相似比作為相等關(guān)系列方程求解即可.
解答:解:①如圖,根據(jù)圓和正方形的對稱性可知:GH=
1
2
DG=
1
2
GF,
H為半圓的圓心,不妨設(shè)GH=a,則GF=2a,
在直角三角形FGH中,由勾股定理可得HF=
5
a
.由此可得,半圓的半徑為
5
a,正方形邊長為2a,
所以半圓的半徑與正方形邊長的比是
5
a:2a=
5
:2;


②連接OI、OJ,可得OICJ是正方形,且邊長是4,
設(shè)BD=x,AD=y,則BD=BI=x,AD=AJ=y,
在直角三角形ABC中,由勾股定理得(x+4)2+(y+4)2=(x+y)2;
∴8(x+y)+32=2xy,
在直角三角形AEB中,可以證得△ADE∽△EBD∽△ABE,
于是得到ED2=AD•BD,即102=x•y②.
∴正方形DEFG的面積為:100,
故答案為:①
5
:2,②100.
點評:此題主要考查了圓、三角形、方程等知識,是一道綜合性很強(qiáng)的題目,難度偏上,需要正確理解相關(guān)知識點及懂得運用方能很好的解答本題.
練習(xí)冊系列答案
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如圖是某學(xué)校田徑體育場一部分的示意圖,第一條跑道每圈為400米,跑道分直道和彎道,直道為長相等的平行線段,彎道為同心的半圓型,彎道與直道相連接,已知直精英家教網(wǎng)道BC的長86.96米,跑道的寬為l米.(π=3.14,結(jié)果精確到0.01)
(1)求第一條跑道的彎道部分
AB
的半徑.
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(2012•咸豐縣二模)如圖,已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,分別以AC、BC為直經(jīng)作半圓,面積分別記為S1、S2,則S1+S2的值等于( 。

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(1)彈簧在壓縮時所儲存的彈性勢能.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:單選題

如圖,已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,分別以AC、BC為直經(jīng)作半圓,面積分別記為S1、S2,則S1+S2的值等于


  1. A.
    8πB
  2. B.
    16π
  3. C.
    25π
  4. D.
    12.5π

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2012年湖北省恩施州咸豐縣中考數(shù)學(xué)二模試卷(解析版) 題型:選擇題

如圖,已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,分別以AC、BC為直經(jīng)作半圓,面積分別記為S1、S2,則S1+S2的值等于( )

A.8πB
B.16π
C.25π
D.12.5π

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