Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于A、B（A點(diǎn)在B點(diǎn)的左側(cè)）與y軸交于點(diǎn)C。

（1）如圖1，連接AC、BC，求△ABC的面積。

（2）如圖2：

①過(guò)點(diǎn)C作CR∥x軸交拋物線于點(diǎn)R，求點(diǎn)R的坐標(biāo)；

②點(diǎn)P為第四象限拋物線上一點(diǎn)，連接PC，若∠BCP=2∠ABC時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。

（3）如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)F在AP上，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥x軸于H點(diǎn)，點(diǎn)K在PH的延長(zhǎng)線上，AK=KF，∠KAH=∠FKH，PF=，連接KB并延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)Q，求PQ的長(zhǎng)。

Answer 1

【答案】（1）3（2）①Q（-2，5）②6（3）7

【解析】分析：（1）令y=0，即=0，得點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，令x=0求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后根據(jù)三角形面積公式求出△ABC的面積；

（2）①由CR∥x軸可知點(diǎn)R的縱坐標(biāo)是-2，設(shè)R（q，-2），把R（q，-2）代入二次函數(shù)解析式即可求出點(diǎn)R的坐標(biāo)；②由題意可知，當(dāng)∠PCR=∠BCR時(shí)，點(diǎn)P即所求. 延長(zhǎng)PC交x軸于點(diǎn)D,由△DOC≌△BOC求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線CD的解析式，然后聯(lián)立二次函數(shù)和所求一次函數(shù)解析式即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）作FG⊥PK，先證明∠HAP=∠KPA，得HA=HP，由△AKH≌△KFG，可得KH=FG=2，進(jìn)而得出K的坐標(biāo)，再由待定系數(shù)法求出直線KB的關(guān)系式，并與二次函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立，求出方程組的解，結(jié)合PQ∥x軸即可得出答案.

詳解：（1）令y=0，得=0，

解之得，

x1=1,x2=4,

∴A(1,0)，B（4.0）;

令x=0得，

，

∴C（0，-2）.

∴ =3

（2）① ∵ CR∥x軸

∴ 可設(shè)R（q，-2）

則：

解得：q1=0，q2=5

∴ R（-2，5）

②當(dāng)∠PCR=∠BCR時(shí)，點(diǎn)P即所求。

延長(zhǎng)PC交x軸于點(diǎn)D,

∵ CR∥x軸,

∴∠PDB=∠PCR.

∵∠ABC=∠BCR=∠PCR,

∴∠PDB=∠ABC.

又∵OC=OC，∠DOC=∠BOC=90°,

∴△DOC≌△BOC,

∴OD=OB,

∴D（-4,0）,

∴yCD= ,

解方程組：得：

，,

∴ 點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是6 ;

（3）過(guò)點(diǎn)F作FG⊥PK于點(diǎn)G，

∵ AK=FK

∴ ∠KAF=∠KFA

而∠KAF=∠KAH+∠PAH，∠KFA=∠PKF+∠KPF，

由題意∠KAH=∠FKP，

∴∠HAP=∠KPA，

∴HA=HP，

∴△AHP為等腰直角三角形

∴∠FPG=45°

∴△FPG為等腰直角三角形

∴FG=PG==2

在△AKH和△KFG中

∵∠AHK=∠KGF=90°，∠KAH=∠FKG，KA=FK

∴△AKH≌△KFG（AAS）

∴KH=FG=2

∴K（6,2）

又 ∵ B（4,0）

∴yKB=x-4

解方程組得或

∴Q（-1，-5）

而P（6，-5）

∴PQ∥x軸

∴PQ=7