【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A(1,0),B(﹣3,0)兩點(diǎn).

(1)求該拋物線的解析式;
(2)設(shè)(1)中的拋物線交y軸與C點(diǎn),在該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q,使得△QAC的周長最?若存在,求出Q點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由;
(3)在(1)中的拋物線上的第二象限上是否存在一點(diǎn)P,使△PBC的面積最大?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PBC的面積最大值;若沒有,請(qǐng)說明理由.

【答案】
(1)

解:將A(1,0),B(﹣3,0)代y=﹣x2+bx+c中得

∴拋物線解析式為:y=﹣x2﹣2x+3


(2)

解:存在

理由如下:由題知A、B兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸x=﹣1對(duì)稱

∴直線BC與x=﹣1的交點(diǎn)即為Q點(diǎn),此時(shí)△AQC周長最小

∵y=﹣x2﹣2x+3

∴C的坐標(biāo)為:(0,3)

直線BC解析式為:y=x+3

Q點(diǎn)坐標(biāo)即為

解得

∴Q(﹣1,2)


(3)

解:存在.

理由如下:設(shè)P點(diǎn)(x,﹣x2﹣2x+3)(﹣3<x<0)

∵SBPC=S四邊形BPCO﹣SBOC=S四邊形BPCO

若S四邊形BPCO有最大值,則SBPC就最大,

∴S四邊形BPCO=SBPE+S直角梯形PEOC

= BEPE+ OE(PE+OC)

= (x+3)(﹣x2﹣2x+3)+ (﹣x)(﹣x2﹣2x+3+3)

=

當(dāng)x=﹣ 時(shí),S四邊形BPCO最大值=

∴SBPC最大=

當(dāng)x=﹣ 時(shí),﹣x2﹣2x+3=

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為(﹣ ,


【解析】(1)根據(jù)題意可知,將點(diǎn)A、B代入函數(shù)解析式,列得方程組即可求得b、c的值,求得函數(shù)解析式;(2)根據(jù)題意可知,邊AC的長是定值,要想△QAC的周長最小,即是AQ+CQ最小,所以此題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)Q的位置,找到點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)B,求得直線BC的解析式,求得與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即是所求;(3)存在,設(shè)得點(diǎn)P的坐標(biāo),將△BCP的面積表示成二次函數(shù),根據(jù)二次函數(shù)最值的方法即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo).

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成績

劃記

頻數(shù)

百分比

不及格

9

10%

及格

18

20%

良好

36

40%

優(yōu)秀

27

30%

合計(jì)

90

90

100%


(1)請(qǐng)解釋“隨機(jī)抽取了50名男生和40名女生”的合理性;
(2)從上表的“頻數(shù)”,“百分比”兩列數(shù)據(jù)中選擇一列,用適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)圖表示;
(3)估計(jì)該校七年級(jí)體育測試成績不及格的人數(shù).

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(1)寫出y與x之間的關(guān)系式;
(2)若點(diǎn)E與點(diǎn)A重合,則x的值為;
(3)是否存在點(diǎn)P,使得點(diǎn)D關(guān)于直線PE的對(duì)稱點(diǎn)D′落在邊AB上?若存在,求x的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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