Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB＝3cm，AD＝4cm，EF經(jīng)過(guò)對(duì)角線(xiàn)BD的中點(diǎn)O，分別交AD，BC于點(diǎn)E，F．

（1）求證：△BOF≌△DOE；

（2）當(dāng)EF⊥BD時(shí)，求AE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）根據(jù)已知條件易證∠BFO＝∠DEO，∠FBO＝∠EDO，OB＝OD，再利用AAS證明△BOF≌△DOE即可；（2）連接BE，設(shè)AE＝xcm，由EB＝ED＝AD﹣AE＝（4﹣x）cm，在Rt△ABE中，根據(jù)AB2+AE＝BE2，構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題．

（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠BFO＝∠DEO，∠FBO＝∠EDO，

又∵O是BD中點(diǎn)，

∴OB＝OD，

∴△BOF≌△DOE（ASA）．

（2）連接BE．

∵EF⊥BD，O為BD中點(diǎn)，

∴EB＝ED，

設(shè)AE＝xcm，由EB＝ED＝AD﹣AE＝（4﹣x）cm，

在Rt△ABE中，AB＝3cm，

根據(jù)勾股定理得：AB2+AE＝BE2，即9+x2＝（4﹣x）2，

解得：x＝，

∴AE的長(zhǎng)是 cm．