【題目】如圖1,矩形ABCD,E為邊AB上的點,將△BCE沿CE折疊,點B恰好落在AC上點B′處.
(1)若AB=8,BC=6,求BE的長度;
(2)如圖2,過點D作EC的垂線,垂足為點G,分別交BC、AC于點F、H,連結(jié)EF,若EF=AE,求證:為定值;
(3)若四邊形EFCH是菱形,則=_____.
【答案】(1)3;(2)證明見解析,;(3)
【解析】
(1)由軸對稱的性質(zhì)可知BE=BE',∠AB'E=90°,可設(shè)BE=BE'=x,通過勾股定理可求出BE的長;
(2)先證∠AEB'=∠ACB,再證∠EFB=∠AEB'=∠ACB并設(shè)為,設(shè)∠EFD=,可通過平角等于180°列出等量關(guān)系式,求出β與α的比值,即可求出結(jié)果;
(3)設(shè)EF=FC=CH=HE=a,AD=y,證△ADH∽△CFH,求出AD=AH=b,通過△AEH∽△ABC可求出a與b的關(guān)系,即可求出最終結(jié)論.
解:(1)如圖:
∵四邊形ABCD為矩形,
∴△ABC為直角三角形,
Rt△ABC中,由勾股定理,
,
由翻折可知:BC=B′C=6,
∴AB′=10-6=4,
設(shè)EB=EB′=x,AE=8-x,
Rt△AEB′中,AB′2+EB′2=AE2,
∴42+x2=(8-x)2,
∴x=3,
∴BE=3;
(2)作,如圖:
在△AB'E與△ABC中,∠AB'E=∠B=90°,∠EAB'=∠CAB,
∴∠AEB'=∠ACB,
∵BE=B'E,EF=AE,∠AB'E=∠B,
∴Rt△AB'E≌Rt△FBE(HL),
∴∠EFB=∠AEB',
設(shè)∠EFB=∠AEB'=∠ACB=,∠EFD=,
則∠FEG=90°-,
∴∠BEC=+90°-,
由折疊知,∠BEC=∠B'EC,
∵∠BEC+∠B'EC+∠AEB'=90°,
∴2(+90°)+=180°,
∴3=2,
∴,
即為定值;
(3)如圖:
設(shè)EF=FC=CH=HE=a,AD=y,
∵AD∥BC,
∴△ADH∽△CFH,
∴,
∵CF=CH,
∴AD=AH=b,
∴AC=a+b,
∵EH∥BC,
∴△AEH∽△ABC,
∴,
∴,
∴,
設(shè)b=1,則,
∴,
∴,
故答案為:.
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【題目】如圖,用長為6m的鋁合金條制成“日”字形窗框,若窗框的寬為xm,窗戶的透光面積為ym2(鋁合金條的寬度不計).
(1)求出y與x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)如何安排窗框的長和寬,才能使得窗戶的透光面積最大?并求出此時的最大面積.
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【題目】如圖①,小聰在學(xué)習(xí)圓的性質(zhì)時發(fā)現(xiàn)一個結(jié)論,△ABC內(nèi)接于⊙O,AD⊥BC,則∠BAD=∠OAC.
(1)請你幫小聰證明這個結(jié)論;
(2)運用以上結(jié)論解決問題:如圖②,H為△ABC的垂心,若∠ABC的平分線BE⊥HO,⊙O的半徑為10,求弦AC的長.
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【題目】某車站在春運期間為改進(jìn)服務(wù),抽查了100名旅客從開始在窗口排隊到購到車票所用時間t(以下簡稱購票用時,單位:分),得到如下表所示的頻數(shù)分布表.
分組 | 頻數(shù) | |
一組 | 0≤t<5 | 0 |
二組 | 5≤t<10 | 10 |
三組 | 10≤t<15 | 10 |
四組 | 15≤t<20 | |
五組 | 20≤t<25 | 30 |
合計 | 100 |
(1)在表中填寫缺失的數(shù)據(jù);
(2)畫出頻數(shù)分布直方圖;
(3)旅客購票用時的平均數(shù)可能落在哪一小組內(nèi)?
(4)若每增加一個購票窗口可以使平均購票用時降低5分,要使平均購票用時不超過10分,那么請你決策一下至少要增加幾個窗口?
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【題目】(1)如圖①,在△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分線與外角∠CBE的平分線相交于點D,求∠D的度數(shù).
(2)如圖②,將(1)中的條件“”改為,其它條件不變,請直接寫出與的數(shù)量關(guān)系.
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【題目】已知關(guān)于x的方程x2+(m+2)x+2m-1=0.
(1)求證方程有兩個不相等的實數(shù)根.
(2)當(dāng)m為何值時,方程的兩根互為相反數(shù)?并求出此時方程的解.
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【題目】如圖,在等腰△ABC中,AB=BC,∠B=120°,線段AB的垂直平分線分別交AB、AC于點D、E,若AC=12,則DE=___________.
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【題目】甲、乙兩班舉行電腦漢字輸入比賽,各選10名選手參賽,各班參賽學(xué)生每分鐘輸入漢字個數(shù)統(tǒng)計如下表:
輸入漢字個數(shù)(個) | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | ||
甲班人數(shù)人) | 1 | 0 | 2 | 4 | 1 | 2 | ||
乙班人數(shù)(人) | 0 | 1 | 4 | 1 | 2 | 2 | ||
請分別判斷下列同學(xué)是說法是否正確,并說明理由.
(1)兩個班級輸入漢字個數(shù)的平均數(shù)相同;
(2)兩個班學(xué)生輸入漢字的中位數(shù)相同眾數(shù)也相同;
(3)甲班學(xué)生比乙班學(xué)生的成績穩(wěn)定.
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【題目】已知二次函數(shù)y=x2-2x-3.
(1)求函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo),與x軸和y軸的交點坐標(biāo),并畫出函數(shù)的大致圖象;
(2)根據(jù)圖象直接回答:當(dāng)x滿足 時,y<0;當(dāng)-1<x<2時,y的范圍是 .
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