【題目】已知拋物線y=﹣x2﹣4x+c經(jīng)過點(diǎn)A(2,0).
(1)求拋物線的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo);
(2)若點(diǎn)B(m,n)是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為C.
①若B、C都在拋物線上,求m的值;
②若點(diǎn)C在第四象限,當(dāng)AC2的值最小時(shí),求m的值.
【答案】(1)拋物線解析式為y=﹣x2﹣4x+12,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣2,16);(2)①m=2或m=﹣2;②m的值為 .
【解析】(1)把點(diǎn)A(2,0)代入拋物線y=﹣x2﹣4x+c中求得c的值,即可得拋物線的解析式,根據(jù)拋物線的解析式求得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)即可;(2)①由B(m,n)在拋物線上可得﹣m2﹣4m+12=n,再由點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為C,可得點(diǎn)C的坐標(biāo)為(﹣m,﹣n),又因C落在拋物線上,可得﹣m2+4m+12=﹣n,即m2﹣4m﹣12=n,所以﹣m2+4m+12=m2﹣4m﹣12,解方程求得m的值即可;②已知點(diǎn)C(﹣m,﹣n)在第四象限,可得﹣m>0,﹣n<0,即m<0,n>0,再由拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣2,16),即可得0<n≤16,因?yàn)辄c(diǎn)B在拋物線上,所以﹣m2﹣4m+12=n,可得m2+4m=﹣n+12,由A(2,0),C(﹣m,﹣n),可得AC2=(﹣m﹣2)2+(﹣n)2=m2+4m+4+n2=n2﹣n+16=(n﹣)2+,所以當(dāng)n=時(shí),AC2有最小值,即﹣m2﹣4m+12=,解方程求得m的值,再由m<0即可確定m的值.
(1)∵拋物線y=﹣x2﹣4x+c經(jīng)過點(diǎn)A(2,0),
∴﹣4﹣8+c=0,即c=12,
∴拋物線解析式為y=﹣x2﹣4x+12=﹣(x+2)2+16,
則頂點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣2,16);
(2)①由B(m,n)在拋物線上可得:﹣m2﹣4m+12=n,
∵點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為C,
∴C(﹣m,﹣n),
∵C落在拋物線上,
∴﹣m2+4m+12=﹣n,即m2﹣4m﹣12=n,
解得:﹣m2+4m+12=m2﹣4m﹣12,
解得:m=2或m=﹣2;
②∵點(diǎn)C(﹣m,﹣n)在第四象限,
∴﹣m>0,﹣n<0,即m<0,n>0,
∵拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣2,16),
∴0<n≤16,
∵點(diǎn)B在拋物線上,
∴﹣m2﹣4m+12=n,
∴m2+4m=﹣n+12,
∵A(2,0),C(﹣m,﹣n),
∴AC2=(﹣m﹣2)2+(﹣n)2=m2+4m+4+n2=n2﹣n+16=(n﹣)2+,
當(dāng)n=時(shí),AC2有最小值,
∴﹣m2﹣4m+12=,
解得:m=,
∵m<0,∴m=不合題意,舍去,
則m的值為.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】張老師元旦節(jié)期間到武商眾圓商場(chǎng)購(gòu)買一臺(tái)某品牌筆記本電腦,恰逢商場(chǎng)正推出“迎元旦”促銷打折活動(dòng),具體優(yōu)惠情況如表:
購(gòu)物總金額(原價(jià)) | 折扣 |
不超過5000元的部分 | 九折 |
超過5000元且不超過10000元的部分 | 八折 |
超過10000元且不超過20000元的部分 | 七折 |
…… | …… |
例如:若購(gòu)買的商品原價(jià)為15000元,實(shí)際付款金額為:
5000×90%+(10000﹣5000)×80%+(15000﹣10000)×70%=12000元.
(1)若這種品牌電腦的原價(jià)為8000元/臺(tái),請(qǐng)求出張老師實(shí)際付款金額;
(2)已知張老師購(gòu)買一臺(tái)該品牌電腦實(shí)際付費(fèi)5700元.
①求該品牌電腦的原價(jià)是多少元/臺(tái)?
②若售出這臺(tái)電腦商場(chǎng)仍可獲利14%,求這種品牌電腦的進(jìn)價(jià)為多少元/臺(tái)?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)觀察推理:如圖1,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直線l過點(diǎn)C,點(diǎn)A、B在直線l同側(cè),BD⊥l,AE⊥l,垂足分別為D、E.
求證:△AEC≌△CDB;
(2)類比探究:如圖2,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,將斜邊AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至AB,連接B,C,求△AB,C的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,∠ACB=90,AC=BC,直線MN經(jīng)過點(diǎn)C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E.
(1)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖①位置時(shí),求證:DE=AD+BE;
(2)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖②位置時(shí),試問:DE,AD,BE有怎樣的等量關(guān)系?請(qǐng)寫出這個(gè)等量關(guān)系,并加以證明.
(3)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖③位置時(shí),DE,AD,BE之間的等量關(guān)系是 (直接寫出答案,不需證明.)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1所示,在△ABC中,∠ACB為銳角,點(diǎn)D為射線BC上一動(dòng)點(diǎn),連接AD,以AD為直角邊,A為直角頂點(diǎn),在AD左側(cè)作等腰直角三角形ADF,連接CF,AB=AC,∠BAC=90°.
(1)當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)(不與點(diǎn)B重合),線段CF和BD的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系分別是什么?請(qǐng)給予證明.
(2)當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí),(1)的結(jié)論是否仍然成立?請(qǐng)?jiān)趫D2中畫出相應(yīng)的圖形,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=12,AC=16,點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn),DE⊥BC交邊AC于點(diǎn)E,點(diǎn)P為射線AB上的一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)Q為邊AC上的一動(dòng)點(diǎn),且∠PDQ=90°.
(1)求ED、EC的長(zhǎng);
(2)若BP=2,求CQ的長(zhǎng);
(3)若線段PQ與線段DE的交點(diǎn)為F,當(dāng)△PDF為等腰三角形時(shí),求BP的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】中秋節(jié)臨近,某商場(chǎng)決定開展“金秋十月,回饋顧客”的讓利活動(dòng),對(duì)部分品牌月餅進(jìn)行打折銷售,其中甲品牌月餅打八折,乙品牌月餅打七五折.已知打折前,買盒甲品牌月餅和盒乙品牌月餅需元;打折后,買盒甲品牌月餅和盒乙品牌月餅需元.
(1)打折前甲、乙兩種品牌月餅每盒分別為多少元?
(2)幸福敬老院需購(gòu)買甲品牌月餅盒,乙品牌月餅盒,問打折后購(gòu)買這批月餅比不打折節(jié)省了多少錢?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在長(zhǎng)方形ABCD中,AB=3,BC=4,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始按A→B→C→D的方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D.如圖,設(shè)動(dòng)點(diǎn)P所經(jīng)過的路程為x,△APD的面積為y.(當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A或D重合時(shí),y=0)
(1)寫出y與x之間的函數(shù)解析式;
(2)畫出此函數(shù)的圖象.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,點(diǎn)E是CD的中點(diǎn),將△BCE沿BE折疊后得到△BEF、且點(diǎn)F在矩形ABCD的內(nèi)部,將BF延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)G.若,則=__.
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