【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為直線x=2,且拋物線經(jīng)過A(﹣1,0),C(0,﹣5)兩點,與x軸交于點B.
(1)若直線y=mx+n經(jīng)過B、C兩點,求直線BC和拋物線的解析式;
(2)設點P為拋物線上的一個動點,連接PB、PC,若△BPC是以BC為直角邊的直角三角形,求此時點P的坐標;
(3)在拋物線上BC段有另一個動點Q,以點Q為圓心作⊙Q,使得⊙Q與直線BC相切,在運動的過程中是否存在一個最大⊙Q?若存在,請直接寫出最大⊙Q的半徑;若不存在,請說明理由.
【答案】
(1)
解:∵對稱軸為x=2,且拋物線經(jīng)過A(﹣1,0),
∴B(5,0).
把B(5,0),C(0,﹣5)分別代入y=mx+n得 ,解得: ,
∴直線BC的解析式為y=x﹣5.
設y=a(x﹣5)(x+1),把點C的坐標代入得:﹣5a=﹣5,解得:a=1,
∴拋物線的解析式為:y=x2﹣4x﹣5
(2)
解:①過點C作CP1⊥BC,交拋物線于點P1,如圖,
則直線CP1的解析式為y=﹣x﹣5,
由 ,解得: (舍去), ,
∴P1(3,﹣8);
②過點B作BP2⊥BC,交拋物線于P2,如圖,
則BP2的解析式為y=﹣x+5,
由 ,解得: (舍去), ,
∴P2(﹣2,7)
(3)
解:由題意可知,Q點距離BC最遠時,半徑最大.平移直線BC,使其與拋物線只有一個公共點Q(即相切),設平移后的直線解析式為y=x+t,
由 ,消去y整理得x2﹣5x﹣5﹣t=0,
△=25+4(5+t)=0,解得t=﹣ ,
∴平移后與拋物線相切時的直線解析式為y=x﹣ ,且Q( ,﹣ ),
連接QC、QB,作QE⊥BC于E,如圖,
設直線y=x﹣ 與y軸的交點為H,連接HB,
則 ,
∵CH=﹣5﹣(﹣ )= ,
∴ = ,
∴ ,
∵ ,BC= ,
∴QE= ,
即最大半徑為
【解析】(1)根據(jù)對稱軸及A點坐標得出B點坐標,從而得出直線BC解析式,再由A、B、C三點坐標得出拋物線解析式;(2)分別過B、C兩點作BC的垂線,得出垂線的解析式,與拋物線解析式聯(lián)立解出P點;(3)平移BC到與拋物線剛好相切之處,此時的切點即為Q點,此時Q點距BC的距離最大,也就是半徑最大.由于初中階估沒學點到直線的距離公式,那么這里可以用等面積法進行處理.設切線與y軸的交點為H,則△HBC與△QBC的面積相等,算出面積,再以BC為底,算出BC邊上的高即為答案.
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【題目】△ABC的底邊BC=10cm,當BC邊上的高線AD從小到大變化時,△ABC的面積也隨之變化.
(1)在這個變化過程中,自變量和因變量各是什么?
(2)△ABC的面積S(cm2)與高線h(cm)之間的關系式是什么?
(3)用表格表示當h由4cm變到10cm時(每次增加1cm),S的相應值;
(4)當h每增加1cm時,S如何變化?
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【題目】如圖,需在一面墻上繪制幾個相同的拋物線型圖案.按照圖中的直角坐標系,最左邊的拋物線可以用y=ax2+bx(a≠0)表示.已知拋物線上B,C兩點到地面的距離均為 m,到墻邊OA的距離分別為 m, m.
(1)求該拋物線的函數(shù)關系式,并求圖案最高點到地面的距離;
(2)若該墻的長度為10m,則最多可以連續(xù)繪制幾個這樣的拋物線型圖案?
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【題目】如果△ABC和△DEF這兩個三角形全等,點C和點E,點B和點D分別是對應點,則另一組對應點是________,對應邊是______________,對應角是_____________,表示這兩個三角形全等的式子是___________.
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以BC為半徑作⊙B,交AB于點D,交AB的延長線于點E,連接CD、CE.
(1)求證:△ACD∽△AEC;
(2)當 = 時,求tanE;
(3)若AD=4,AC=4 ,求△ACE的面積.
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【題目】如圖,在等腰△ABC中,∠A=36°,∠ABC=∠ACB,∠1=∠2,∠3=∠4,BD與CE交于點O,則圖中等腰三角形有( 。
A. 6個 B. 7個 C. 8個 D. 9個
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【題目】如圖所示,在△ABC中,AB=AC,∠A=60°,BD⊥AC于點D,DG∥AB,DG交BC于點G,點E在BC的延長線上,且CE=CD.
(1)求∠ABD和∠BDE的度數(shù);
(2)寫出圖中的等腰三角形(寫出3個即可).
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【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,邊長為2的正方形OABC的頂點A、C分別在x軸、y軸的正半軸上,二次函數(shù)y=﹣ x2+bx+c的圖象經(jīng)過B、C兩點.
(1)求該二次函數(shù)的解析式;
(2)結合函數(shù)的圖象探索:當y>0時x的取值范圍.
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