Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y＝與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C．

（1）點P為線段BC上方拋物線上（不與B、C重合）的一動點，連接PC、PB，當△PBC面積最大時，在y軸找點D，使得PD﹣OD的值最小時，求這個最小值．

（2）如圖2，拋物線對稱軸與x軸交于點K，與線段BC交于點M，在對稱軸上取一點R，使得KR＝12（點R在第一象限），連接BR．已知點N為線段BR上一動點，連接MN，將△BMN沿MN翻折到△B'MN．當△B'MN與△BMR重疊部分（如圖中的△MNQ）為直角三角形時，直接寫出此時點B'的坐標．

Answer 1

【答案】（1）PD﹣OD的值最小；（2）B'（2，12）或B'（，4）時，△MNQ為直角三角形．

【解析】

（1）由已知可求，，，求出直線BC的解析式，進而設點P的坐標，再根據(jù)面積最大時確定P點的坐標，最后根據(jù)最短路徑的知識求出的最小值；

（2）根據(jù)題意，重疊部分可以分兩種情況進行討論，即①當MN⊥B'M，②當MN⊥BR時，為直角三角形，進而求出B'的坐標即可．

（1）由已知可求，，，

∴直線BC的解析式為，直線AC的解析式為，

設點，

∵過點P與直線BC垂直的直線解析式為，

∴設直線與直線的交點Q的坐標為

，

∴，

當m＝時，PQ有最大，此時面積最大，

∴，

如下圖，作P點關于y軸的對稱點，作直線，

過點P'作直線的垂線交y軸于點D，交直線于點M，

∵PD＝P'D，∠DOM＝60°，

∴MD＝OD，

∴，

∴OD的最小值為P'M；

∵P'D的解析式為y＝，

∴，

∴P'M＝，

∴的值最小；

（2）①當MN⊥B'M時，為直角三角形，

對稱軸，

∴，，

∴KB＝，

直線BC的解析式為，

∴，

∴MK＝4，MB＝8，

∴RM＝8，

∴MR＝KB，

∵，

∴∠KRB＝30°，

∴∠B'＝30°，

∴QM＝4，B'Q＝,

∴RQ＝4，

∴QN＝，

∴；

②當MN⊥BR時，為直角三角形，

∵∠MBN＝∠MB'N＝30°，∠KRB＝30°，

∴B'與R重合，

∴；

綜上所述：或時，為直角三角形．