Question

請(qǐng)閱讀下列材料：
問題：如圖1，在正方形ABCD和正方形CEFG中，點(diǎn)B、C、E在同一條直線上，M是線段AF的中點(diǎn)，連接DM，MG．探究線段DM與MG數(shù)量與位置有何關(guān)系．

小聰同學(xué)的思路是：延長(zhǎng)DM交GF于H，構(gòu)造全等三角形，經(jīng)過推理使問題得到解決．
請(qǐng)你參考小聰同學(xué)的思路，探究并解決下列問題：
（1）直接寫出上面問題中線段DM與MG數(shù)量與位置有何關(guān)系

DM=MG且DM⊥MG

；
（2）將圖1中的正方形CEFG繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使正方形CEFG對(duì)角線CF恰好與正方形ABCD的邊BC在同一條直線上，原問題中的其他條件不變（如圖2）．你在（1）中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生變化？寫出你的猜想并加以證明．
（3）如圖3，將正方形CEFG繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意角度，原問題中的其他條件不變，寫出你的猜想．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠DAM=∠HFM，然后利用“角邊角”證明△ADM和△FHM全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得DM=HM，AD=FH，再求出GD=GH，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)解答；
（2）延長(zhǎng)DM交CF于H，連接GD，GH，同（1）可得DM=HM，AD=FH，再利用“邊角邊”證明△CDG和△FHG全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得GD=GH，∠CGD=∠FGH，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)解答；
（3）過點(diǎn)F作FH∥AD交DM的延長(zhǎng)線于H，交DC的延長(zhǎng)線于N，同（1）可得DM=HM，AD=FH，根據(jù)等角的余角相等求出∠DCG=∠HFG，然后利用“邊角邊”證明△CDG和△FHG全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得GD=GH，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)解答．

解答：（1）解：如圖1，在正方形ABCD和正方形CEFG中，AD∥BC∥GF，
∴∠DAM=∠HFM，
∵M(jìn)是線段AF的中點(diǎn)，
∴AM=FM，
在△ADM和△FHM中，

∠DAM=∠HFM AM=FM ∠AMD=∠FMH

，
∴△ADM≌△FHM（ASA），
∴DM=HM，AD=FH，
∵GD=CG-CD，GH=GF-FH，AD=CD，CG=GF，
∴GD=GH，
∴△DGH是等腰直角三角形，
∴DM=MG且DM⊥MG；

（2）如圖2，延長(zhǎng)DM交CF于H，連接GD，GH，
同（1）可得DM=HM，AD=FH，
∵CF恰好與正方形ABCD的邊BC在同一條直線上，
∴∠DCG=90°-45°=45°，
∠HFG=45°，
∴∠DCG=∠HFG，
在△CDG和△FHG中，

CD=FH ∠DCG=∠HFG CG=FG

，
∴△CDG≌△FHG（SAS），
∴GD=GH，∠CGD=∠FGH，
∴∠DGH=∠CGD+∠CGH=∠FGH+∠CGH=∠CGF=90°，
∴△DGH是等腰直角三角形，
∴DM=MG且DM⊥MG；

（3）如圖3，過點(diǎn)F作FH∥AD交DM的延長(zhǎng)線于H，交DC的延長(zhǎng)線于N，
同（1）可得DM=HM，AD=FH，
易得∠NCE=∠EFN，
∵∠DCG+∠NCE=180°-90°=90°，
∠HFG+∠EFN=90°，
∴∠DCG=∠HFG，
在△CDG和△FHG中，

CD=FH ∠DCG=∠HFG CG=FG

，
∴△CDG≌△FHG（SAS），
∴GD=GH，∠CGD=∠FGH，
∴∠DGH=∠CGD+∠CGH=∠FGH+∠CGH=∠CGF=90°，
∴△DGH是等腰直角三角形，
∴DM=MG且DM⊥MG．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，在正方形中證明三角形全等，并運(yùn)用全等的性質(zhì)解題是中考的熱點(diǎn)，本題作輔助線，構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．