請(qǐng)閱讀下列材料:問題:已知方程x2+x-3=0,求一個(gè)一元二次方程,使它的根分別是已知方程根的2倍
解:設(shè)所求方程的根為y,則y=2x,
所以x=
y
2

把x=
y
2
代入已知方程,得
(
y
2
)2+
y
2
-3=0

化簡,得y2+2y-12=0故所求方程為y2+2y-12=0.
這種利用方程根的代換求新方程的方法,我們稱為“換根法”.
(1)已知方程x2+x-1=0,求一個(gè)一元二次方程,使它的根分別是已知方程根的3倍,則所求方程為
y2+3y-9=0
y2+3y-9=0

(2)已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)不等于零的實(shí)數(shù)根,求一個(gè)一元二次方程,使它的根分別是已知方程根的倒數(shù);
(3)已知關(guān)于x的方程x2-mx+n=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,求一個(gè)方程,使它的根分別是已知方程根的平方.
分析:根據(jù)所給的材料,設(shè)所求方程的根為y,再表示出x,代入原方程,整理即可得出所求的方程.
解答:解:(1)設(shè)所求方程的根為y,則y=3x,
所以x=
y
3

把x=
y
3
代入已知方程,得
(
y
3
)
2
+
y
3
-1=0

化簡,得y2+3y-9=0,
故所求方程為y2+3y-9=0.
故答案是:y2+3y-9=0;

(2)設(shè)所求方程的根為y,則y=
1
x
(x≠0),于是x=
1
y
(y≠0)
把x=
1
y
代入方程ax2+bx+c=0,得a(
1
y
2+b•
1
y
+c=0
去分母,得a+by+cy2=0.
若c=0,有ax2+bx=0,于是方程ax2+bx+c=0有一個(gè)根為0,不符合題意,
∴c≠0,
故所求方程為cy2+by+a=0(c≠0);

(3)設(shè)所求方程的根為y,則y=x2,
所以x=±
y

①當(dāng)x=
y
時(shí),
把x=
y
代入已知方程,得
(
y
)
2
-m
y
+n=0,即y-m
y
+n=0;
②當(dāng)x=-
y
時(shí),
把x=-
y
代入已知方程,得
(
y
)
2
+m
y
+n=0,即y+m
y
+n=0.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了一元二次方程的解、根的判別式.本題是一道材料題,是一種新型問題,解題時(shí),要提取材料中的關(guān)鍵性信息.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:閱讀理解

請(qǐng)閱讀下列材料:
問題:解方程(x2-1)2-5(x2-1)+4=0.
明明的做法是:將x2-1視為一個(gè)整體,然后設(shè)x2-1=y,則(x2-1)2=y2,原方程可化為y2-5y+4=0,解得y1=1,y2=4.
(1)當(dāng)y=1時(shí),x2-1=1,解得x=±
2
;
(2)當(dāng)y=4時(shí),x2-1=4,解得x=±
5

綜合(1)(2),可得原方程的解為x1=
2
,  x2=-
2
,  x3=
5
,  x4=-
5

請(qǐng)你參考明明同學(xué)的思路,解方程x4-x2-6=0.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:閱讀理解

請(qǐng)閱讀下列材料:
問題:已知方程x2+x-1=0,求一個(gè)一元二次方程,使它的根分別是已知方程根的2倍.
解:設(shè)所求方程的根為y,則y=2x所以x=
y
2

把x=
y
2
代入已知方程,得(
y
2
2+
y
2
-1=0
化簡,得y2+2y-4=0
故所求方程為y2+2y-4=0.
這種利用方程根的代換求新方程的方法,我們稱為“換根法”.
請(qǐng)用閱讀村料提供的“換根法”求新方程(要求:把所求方程化為一般形式):
(1)已知方程x2+x-2=0,求一個(gè)一元二次方程,使它的根分別為己知方程根的相反數(shù),則所求方程為:
 
;
(2)己知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)不等于零的實(shí)數(shù)根,求一個(gè)一元二次方程,使它的根分別是己知方程根的倒數(shù).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:閱讀理解

(2013•貴陽模擬)請(qǐng)閱讀下列材料:
問題:如圖1,圓柱的底面半徑為1dm,BC是底面直徑,圓柱高AB為5dm,求一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿圓柱表面爬行到點(diǎn)C的最短路線,小明設(shè)計(jì)了兩條路線:
路線1:高線AB+底面直徑BC,如圖1所示.路線2:側(cè)面展開圖中的線段AC,如圖2所示.(結(jié)果保留π)

(1)設(shè)路線1的長度為L1,則L12=
49
49
.設(shè)路線2的長度為L2,則L22=
25+π2
25+π2
.所以選擇路線
2
2
(填1或2)較短.
(2)小明把條件改成:“圓柱的底面半徑為5dm,高AB為1dm”繼續(xù)按前面的路線進(jìn)行計(jì)算.此時(shí),路線1:L12=
121
121
.路線2:L22=
1+25π2
1+25π2
.所以選擇路線
1
1
(填1或2)較短.
(3)請(qǐng)你幫小明繼續(xù)研究:當(dāng)圓柱的底面半徑為2dm,高為hdm時(shí),應(yīng)如何選擇上面的兩條路線才能使螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿圓柱表面爬行到點(diǎn)C的路線最短.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:閱讀理解

請(qǐng)閱讀下列材料:
問題:正方形ABCD中,M,N分別是直線CB、DC上的動(dòng)點(diǎn),∠MAN=45°,當(dāng)∠MAN交邊CB、DC于點(diǎn)M、N(如圖①)時(shí),線段BM、DN和MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?
小聰同學(xué)的思路是:延長CB至E使BE=DN,并連接AE,構(gòu)造全等三角形經(jīng)過推理使問題得到解決.請(qǐng)你參考小聰同學(xué)的思路,探究并解決下列問題:
(1)直接寫出上面問題中,線段BM,DN和MN之間的數(shù)量關(guān)系;
(2)當(dāng)∠MAN分別交邊CB,DC的延長線于點(diǎn)M/N時(shí)(如圖②),線段BM,DN和MN之間的又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)寫出你的猜想,并加以證明;
(3)在圖①中,若正方形的邊長為16cm,DN=4cm,請(qǐng)利用(1)中的結(jié)論,試求MN的長.

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