Question

請閱讀下列材料：
問題：正方形ABCD中，M，N分別是直線CB、DC上的動點，∠MAN=45°，當∠MAN交邊CB、DC于點M、N（如圖①）時，線段BM、DN和MN之間有怎樣的數(shù)量關系？
小聰同學的思路是：延長CB至E使BE=DN，并連接AE，構造全等三角形經(jīng)過推理使問題得到解決．請你參考小聰同學的思路，探究并解決下列問題：
（1）直接寫出上面問題中，線段BM，DN和MN之間的數(shù)量關系；
（2）當∠MAN分別交邊CB，DC的延長線于點M/N時（如圖②），線段BM，DN和MN之間的又有怎樣的數(shù)量關系？請寫出你的猜想，并加以證明；
（3）在圖①中，若正方形的邊長為16cm，DN=4cm，請利用（1）中的結論，試求MN的長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)小聰同學的思路，可證△ABE與△ADN全等，從而證明△AMN與△AME全等，得關系式；
（2）在DC上截取DF=BM，得△ABM與△ADF全等；再證明△MAN與△FAN全等，得關系式；
（3）運用勾股定理計算．

解答：解：（1）BM+DN=MN；

（2）DN-BM=MN．
理由如下：
如圖，在DC上截取DF=BM，連接AF．
∵AB=AD，∠ABM=∠ADF=90°，
∴△ABM≌△ADF （SAS）
∴AM=AF，∠MAB=∠FAD．
∴∠MAB+∠BAF=∠FAD+∠BAF=90°，
即∠MAF=∠BAD=90°．
又∠MAN=45°，
∴∠NAF=∠MAN=45°．
∵AN=AN，
∴△MAN≌△FAN．
∴MN=FN，
即 MN=DN-DF=DN-BM；

（3）∵正方形的邊長為16，DN=4，
∴CN=12．
根據(jù)（1）可知，BM+DN=MN，
設 MN=x，則 BM=x-4，
∴CM=16-（x-4）=20-x．
在Rt△CMN中，
∵MN²=CM²+CN²，
∴x²=（20-x）²+12²．
解得 x=13.6．
∴MN=13.6cm．

點評：此題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識點，運用截長補短法構造全等三角形是關鍵．也可運用圖形的旋轉性質(zhì)構造全等三角形．