【題目】已知拋物線y=x2+bx+c與x軸交于點A(4,﹣5).
(1)如圖,過點A分別向x軸、y軸作垂線,垂足分別為B、C,得到矩形ABOC,且拋物線經(jīng)過點C.
①求拋物線的解析式.
②將拋物線沿直線x=m(2>m>0)翻折,分別交線段OB、AC于D,E兩點.若直線DE剛好平分矩形ABOC的面積,求m的值.
(2)將拋物線旋轉(zhuǎn)180°,使點A的對應(yīng)點為A1(m﹣2,n﹣4),其中m≤2.若旋轉(zhuǎn)后的拋物線仍然經(jīng)過點A,求旋轉(zhuǎn)后的拋物線頂點所能達到最低點時的坐標(biāo).
【答案】(1)①y=x2﹣4x﹣5,②;(2)(2,﹣1)
【解析】
(1)①由矩形的性質(zhì)確定點C的坐標(biāo),將點C、A的坐標(biāo)代入y=x2+bx+c即可求出拋物線的解析式;
②求出拋物線y=x2﹣4x﹣5的對稱軸,求出翻折后的拋物線的對稱軸,可寫出翻折后的解析式,求出D,E兩點坐標(biāo),因為直線DE剛好平分矩形ABOC的面積,則必過矩形對角線的交點Q(2,﹣),則可列出關(guān)于m的方程,即可求出m的值;
(2)由點A、A1的坐標(biāo)可求出旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo),進一步推出原頂點的對稱點,可寫出旋轉(zhuǎn)后的拋物線解析式,因為旋轉(zhuǎn)后的拋物線仍然經(jīng)過點A,將點A的坐標(biāo)代入旋轉(zhuǎn)后的解析式,可得關(guān)于m、n的等式,將m=2代入,可求出n的值,即可寫出旋轉(zhuǎn)后的拋物線頂點所能達到最低點時的坐標(biāo).
解:(1)①∵點A(4,﹣5),且四邊形ABOC為矩形,
∴C(0,﹣5),
∴拋物線的解析式為y=x2+bx﹣5,
將點A(4,﹣5)代入y=x2+bx﹣5,
得,b=﹣4,
∴拋物線的解析式為y=x2﹣4x﹣5;
②在拋物線y=x2﹣4x﹣5中,
對稱軸為直線x=﹣=2,
∵拋物線y=x2﹣4x﹣5沿直線x=m(2>m>0)翻折,
∴設(shè)翻折后的拋物線對稱軸為直線x=n,
∴=m,
∴n=2m﹣2,
∴翻折后的拋物線為y=[x﹣(2m﹣2)]2﹣9,
在y=[x﹣(2m﹣2)]2﹣9中,當(dāng)y=0時,x1=2m+1,x2=2m﹣5;當(dāng)y=﹣5時,x1=2m,x2=2m﹣4;
∵如下圖,拋物線y=[x﹣(2m﹣2)]2﹣9分別交線段OB、AC于D,E兩點,
∴D(2m+1,0),E(2m,﹣5),
∵直線DE剛好平分矩形ABOC的面積,
∴必過矩形對角線的交點Q(2,﹣),
即=2,
∴m=;
(2)∵將拋物線旋轉(zhuǎn)180°,使點A的對應(yīng)點為A1(m﹣2,n﹣4),其中m≤2,
∵A(4,﹣5),
∴旋轉(zhuǎn)中心為(,),
∴原頂點的對稱點為(m,n),
∴旋轉(zhuǎn)后的拋物線為y=﹣(x﹣m)2+n,
∵旋轉(zhuǎn)后的拋物線仍然經(jīng)過點A,
∴﹣5=﹣(4﹣m)2+n,
∵m≤2,
∴當(dāng)m=2時,n=﹣1,
∵旋轉(zhuǎn)后拋物線開口向下,
∴旋轉(zhuǎn)后的拋物線頂點所能達到最低點時的坐標(biāo)(2,﹣1).
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【題目】如圖,已知A,B為反比例函數(shù)y1=圖象上兩點,連接AB,線段AB經(jīng)過點O,C是反比例函數(shù)y2=(k<0)在第二象限內(nèi)的圖象上一點,當(dāng)△CAB是以AB為底的等腰三角形,且時,k的值為( )
A.﹣B.﹣3C.﹣4D.﹣
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【題目】如圖,在中,,平分交于點,將繞點順時針旋轉(zhuǎn)到的位置,點在上.
(1)旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為______;
(2)連結(jié),判斷與的位置關(guān)系,并說明理由.
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【題目】在中,,點分別是邊的中點,連接,
(1)如圖①,當(dāng)時,繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到,連接、,在旋轉(zhuǎn)過程中請猜想:______(直接寫出答案);
(2)如圖②,當(dāng)時,繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到,連接、,在旋轉(zhuǎn)過程中請猜想:的比值,并證明你的猜想;
(3)如圖③,當(dāng)時,繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到,連接、,請直接寫出在旋轉(zhuǎn)過程中的比值.(用含的代數(shù)式表示)
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【題目】中華文明,源遠流長,中華漢字,寓意深廣.為傳承中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化,某中學(xué)德育處組織了一次全校2000名學(xué)生參加的“漢字聽寫”大賽.為了解本次大賽的成績,學(xué)校德育處隨機抽取了其中200名學(xué)生的成績作為樣本進行統(tǒng)計,制成如下不完整的統(tǒng)計圖表:
成績x(分)分?jǐn)?shù)段 | 頻數(shù)(人) | 頻率 |
50≤x<60 | 10 | 0.05 |
60≤x<70 | 30 | 0.15 |
70≤x<80 | 40 | 0.2 |
80≤x<90 | m | 0.35 |
90≤x<100 | 50 | n |
頻數(shù)分布直方圖
根據(jù)所給的信息,回答下列問題:
(1)m=________;n=________;
(2)補全頻數(shù)分布直方圖;
(3)這200名學(xué)生成績的中位數(shù)會落在________分?jǐn)?shù)段;
(4)若成績在90分以上(包括90分)為“優(yōu)”等,請你估計該校參加本次比賽的2000名學(xué)生中成績是“優(yōu)”等的約有多少人?
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【題目】(3分)如圖,在直角坐標(biāo)系中,直線與坐標(biāo)軸交于A、B兩點,與雙曲線()交于點C,過點C作CD⊥x軸,垂足為D,且OA=AD,則以下結(jié)論:
①;
②當(dāng)0<x<3時,;
③如圖,當(dāng)x=3時,EF=;
④當(dāng)x>0時,隨x的增大而增大,隨x的增大而減。
其中正確結(jié)論的個數(shù)是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
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【題目】兩人要去某風(fēng)景區(qū)游玩,每天某一時段開往該風(fēng)景區(qū)有三輛汽車(票價相同),但是他們不知道這些車的舒適程度,也不知道汽車開過來的順序.兩人采用了不同的乘車方案:甲無論如何總是上開來的第一輛車.而乙則是先觀察后上車,當(dāng)?shù)谝惠v車開來時,他不上車,而是仔細觀察車的舒適狀況.如果第二輛車的狀況比第一輛好,他就上第二輛車;如果第二輛不比第一輛好,他就上第三輛車.如果把這三輛車的舒適程度分為上、中、下三等,請嘗試解決下面的問題:請用樹狀圖或列表法分析,甲、乙兩人采用的方案,哪一種方案使自己乘坐上等車的可能性大.
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【題目】某種蔬菜的銷售單價y1與銷售月份x之間的關(guān)系如圖1所示,成本y2與銷售月份x之間的關(guān)系如圖2所示(圖1的圖象是線段,圖2的圖象是拋物線)
(1)已知6月份這種蔬菜的成本最低,此時出售每千克的收益是多少元?(收益=售價﹣成本)
(2)哪個月出售這種蔬菜,每千克的收益最大?簡單說明理由.
(3)已知市場部銷售該種蔬菜4、5兩個月的總收益為22萬元,且5月份的銷售量比4月份的銷售量多2萬千克,求4、5兩個月的銷售量分別是多少萬千克?
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【題目】教材呈現(xiàn):下圖是華師版八年級下冊數(shù)學(xué)教材第11頁的部分內(nèi)容.
例1,如圖,在菱形中,,試求的大小,并說明是等邊三角形
問題解決:請結(jié)合圖(1),寫出例1的完整解答過程;
問題探究:在菱形中,對角線相交于點,過點D作交BC的延長線于點E.
(1)如圖2,連接OE,則OE的長為____________;
(2)如圖3,若點P是對角線BD上一動點,連結(jié),則的最小值為____________.
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